Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) - ABCD42.RU

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем

При изучении алгебры 9 класса мы начали решать уравнения, содержащие параметры. Уравнения такого типа вызвали интерес, который я направил для более подробного изучения параметров. В 9 классе мало сведений о параметрах и я решил выйти за рамки учебника. Рассмотрел вопрос подробнее: разные задачи с параметрами, которые могут помочь учителю при рассмотрении этих вопросов на факультативных занятиях. Решение уравнений и неравенств с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Задачи такого типа помогают повысить уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

В школе первые представления о параметре мы получаем при изучении прямой пропорциональности; линейной функции; линейного уравнения; уравнения первой степени; квадратного уравнения; исследования количества корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра.

Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых,- степень свободы общения ограничивается его неизвестностью.

Обычно в уравнении или неравенстве буквами обозначают неизвестные. Решить уравнение (неравенство) – значит найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению (неравенству). Иногда уравнения (неравенства), кроме букв, обозначающих неизвестные, содержат другие буквы, называемые параметрами. Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений (неравенств). При этом бывает, что при одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня. При решении таких уравнений (неравенств) надо сначала найти множество всех допустимых значений параметров, а затем разбить это множество на части, в каждой из которых ответ выражается одной и той же функцией через параметры.

В своей работе я собрал теоретический и практический материалы о параметрах, используя материалы различных источников, приведено решение различными способами уравнений, неравенств и их систем. Материалы работы выходят за рамки школьной программы и являются подготовительными для изучения алгебры и начал анализа в 10 – 11 классах.

§1. Знакомство с параметром.

Рассмотрение параметров более подробно можно начать с простых примеров неравенств и уравнений, где искомые значения х выступают в роли зависимой переменной, а параметр – независимой. Условие задач отводит параметру место, где неясно, повлияет ли его присутствие на ход решения.

1. Сравнить –а и 3а.

Решение. Рассмотреть три случая: если а 3а ; если а = 0, то –а = 3а; если а > 0, то –а 0, то х .

Ответ: если a > 0, то х .

5. Решить неравенство > -а.

Решение. При а0 правая часть неравенства отрицательна, и тогда при любом х левая часть больше правой. В случае, когда а = 0, важно не упустить что исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме х = -3.

Ответ: если а 0, то х – любое; если а = 0, то х -3.

6. Решить уравнение = 0.

Решение. Единственный корень х = а. Условие х 1 влечет за собой требование а 1.

Ответ : если а 1, то х = а; если а = 1, то нет решений.

7. Решить неравенство (а – 1) 0.

Решение. Ответ зависит от знака двучлена а – 1. При а 1 очевидно данному неравенству удовлетворяет любое значение х из области определения, т. е. х 0. При а > 1 левая часть неравенства неотрицательна, поэтому в рассматриваемом случае х = 0 – единственное решение.

Ответ: если а 1, то х 0, если а > 1, то х = 0. 4

8. При каких а уравнение (а — 2)x2 + (4 — 2а)х +3 = 0 имеет единственное решение?

Решение. Понятно, что надо начинать со случая а = 2. Но при а = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если а ≠ 2, то данное уравнение — квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при а = 2 или а = 5. Поскольку мы установили, что а= 2 не подходит, то

9. При каких а уравнение ах2 — 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня?

Решение. При а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а ≠ 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16 – 4а2 – 12а – положительный. Отсюда получаем -4 ⅓. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка

(-⅓ ;∞) надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = -3.

Ответ. а = -3, или — ⅓ 0.

11. При каких а уравнение (-1)(х — а) = 0 имеет единственное решение?

Решение. При любом а х = 1 – корень данного уравнения, и требование единственности решения сводит задачу к поиску условий, при которых уравнению «запрещено» иметь корни, отличные от единицы. В то же время множитель х — а как бы предлагает еще один корень х = а, и, на первый взгляд, значение а = 1 представляется достаточным для ответа. Но более внимательный анализ позволяет «отмести» х = а за счет области определения уравнения: при а 0 первое уравнение имеет два различных корня, а второе — только один, и в этом случае о равносильности речь идти не может. Так же ясно, что при а = 0 решения уравнений совпадают. При а 0 является следствием неравенства х + 1 — 3а > 0 ?

Решение. Перепишем данные неравенства в виде х > -а/2 и х > 3а -1. Учитывая условие, отметим, что множество решений неравенства х > -а/2 должно содержать множество решений неравенства х > 3а — 1. Это требование выполняется, если -а/2 ≤ 3а – 1, т. е.

2. Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем («ветвление»).

Примененный нематематический термин «ветвление» в большой степени характеризует процесс решения тех задач, где параметр «управляет» поиском значений переменной. Сказанное в полной мере относится к уравнениям (неравенствам, системам), содержащим параметр. Действительно, поскольку уравнения с параметром — на самом деле целый класс уравнений, то решать надо сразу весь этот класс, что, естестве» но, влечет за собой необходимость разбора различных случаев зависимости от определенных значений параметра.

16. Решить уравнение.

Решение. Переходим к уравнению-следствию:

(х + а — 1)(х + 1) — 3(х + 1)=5а, х2 + х(а — 3) — 4а — 4 = 0.

Отсюда х1= 4, х2 = — а — 1. Для того чтобы найденные значения переменной были корнями исходного уравнения, достаточно потребовать: х1 ≠ 1 — а, х2 ≠ -1, х1 ≠ -1, х2 # 1 – а. Выполнение двух последних требований — очевидно. Если х1 = 1 — а, т. е. 4 = 1- а, то а = -3. Следовательно, при а = -3 значение х1 = 4 не является корнем данного уравнения. Здесь важно не сделать ошибочный вывод, что при а = -3 вообще нет корней. На самом деле, для а = -3 имеем х2 = 2, и ничто не мешает х2 = 2 быть корнем исходного уравнения.

Если х2 = -1 ,т. е. -а — 1 = -1, то а = 0. Отсюда при а = 0 х2 — не корень, a х1 — корень данного уравнения. Соберем полученные результаты в

Ответ. Если а = -3, то х = 2; если а = 0, то х = 4; если а ≠ 0 и а ≠ -3, то х = 4 или х = -а -1.

3. Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.

17. При каких значениях а уравнение имеет два корня?

Решение. Переходим к равносильной системе

Полученное квадратное уравнение имеет два корня при а > -1/4. Понятно, что если меньший из этих корней неотрицательный, то и система имеет два решения. Запишем

Читайте также  Предварительный перспективный, прогнозный анализ

Отсюда легко получить -1/4 2. C одной стороны, используя свойства числовых неравенств (возведение обеих частей в четную степень), можно показать, что неравенство > 2 равносильно х > 4. С другой стороны, функциональный взгляд позволяет рассуждать так: перепишем исходное неравенство в виде >. Далее, учитывая характер монотонности функции у = , получаем х > 4.

Отметим, что пункты этого параграфа соответствуют стандартной схеме исследования функции.

Напомним читателю некоторые свойства монотонных функций, которые нам понадобятся в этом пункте:

1) Если функции у = ƒ (х) и у = g (х) возрастают (убывают) на множестве М, то функция у = ƒ (х) + g (х) также возрастает (убывает) на множестве М;

2) Если функции у = ƒ (х) и у = g (х) возрастают (убывают) на множестве М, прячем

ƒ (х ) ≥ 0 и g (х ) ≥ О при всех допустимых х, то функция у = ƒ (х) g (x) возрастает (убывает) на множестве М;

3) Если функция у = ƒ (х) монотонная, то уравнение ƒ (х) = а имеет не более одного корня; другими словами, монотонная функция принимает каждое свое значение только один раз.

Перейдем к задачам.

23. Решить систему уравнений

Решение. Вычтем из первого уравнения второе. Получим

Рассмотрим функцию ƒ (t) =. Она возрастающая. Имеем ƒ (х ) = ƒ (у). Следовательно, х = у. Отсюда.

Это уравнение равносильно системе:

Ответ. Если а ≥ b + 1, то ; если а 0 и D > 0, где D = 4 — 4а. Отсюда

Ответ. 0 2 и таким свойством должен обладать только один корень, то мы вынуждены потребовать, чтобы х2 ≤ 2, т. е. 2b — 1 ≤ 2, или х2 = 3, т. е. 2b — 1 = 3. Отсюда

Ответ. b ≤ 3/2 или b = 2.

34. Найти все значения m, при которых один из корней уравнения х2 — (2m + 1)x + m2 + m — 2 = 0 находится между числами 0 и 2, а второй — между числами 3 и 5.

Решение. Данное квадратное уравнение имеет корни х1 = m — 1, х2 = m + 2. Очевидно х1 0, т. е. а > -1/15, то искомые значения параметра определяются следующей совокупностью неравенств :

Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Интенсивная информатизация общества создала необходимость в увеличении методического обеспечения для продуктивной учебной деятельности учащихся общеобразовательных учреждений. На первый план в обучении выдвигается формирование исследовательских умений: анализировать информацию, систематизировать ее, сравнивать, отделять главное от второстепенного, обобщать, выдвигать предположения о возможных путях решения проблемы, приводить примеры и контрпримеры и т.п.

Роль математики как важнейшего инструмента в развитии исследовательских форм мышления школьника бесспорна, но ее содержание и традиционные методики требуют значительного увеличения доли исследовательских задач и методов даже в раскрытии общеизвестных школьных тем. Эта проблема обусловлена, с одной стороны, человеческим фактором – качеством и содержанием профессиональной подготовки учителей, их настроением, современной системой воспитания детей, с другой стороны, неразработанностью общеизвестных, качественных и доступных методик обучения решению задач, развивающих у учащихся общеобразовательных учреждений продуктивный уровень усвоения учебного материала.

В современной теории обучения математике одним из приемов развития эвристического и творческого типа продуктивных действий учащегося является решение задачи с параметром. Задача с параметром, по мнению П.М. Эрдниева, – это естественный этап в решении любой математической задачи [6]. Отсюда актуальность этой проблемы обусловлена не столько потребностями ГИА и ЕГЭ, сколько необходимостью создания целостной методики обучения, включающей обеспечение развития у школьников продуктивного уровня усвоения учебного материала по многим темам, в частности, по решению уравнений и неравенств.

В требованиях к уровню подготовки выпускников основной школы написано, что «в результате изучения математики ученик должен уметь решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы; решать линейные, квадратные неравенства с одной переменной и их системы» [4, c. 21]. Ни в энциклопедии элементарной математики, ни государственном образовательном стандарте нет понятия «уравнение (неравенство) с параметром», не представлены методы их решения. Поскольку параметризировать можно любую математическую задачу, получаем, что все уравнения и неравенства делятся на две группы – без параметров и с параметрами. Поэтому существующий в школьной методике математики подход – ставить уравнения (неравенства) с параметрами в один ряд с квадратными, дробными, логарифмическими, содержащими модуль и др. – не имеет под собой никакого обоснования. Исходя из сущности задач с параметрами, их решение – это качественное обобщение и систематизация учебного опыта учащегося на более высоком продуктивном уровне деятельности. Поэтому технология решения задач с параметрами должна быть гармонично вплетена в каждую тему, четко оговорена, должны быть разобраны примеры, приведена система упражнений.

У школьников понятие уравнения (неравенства) с параметром должно включать в себя понимание того, что:

1. Уравнение (неравенство) с параметром – это семейство уравнений (неравенств) одного вида при одних значениях параметра, других видов – при других значениях параметра, при каких-то значениях параметра в это семейство входят верные или неверные тождества (числовые неравенства). Так, уравнение

при а = 1 принимает вид линейного; при а = ‒1 становится простейшим иррациональным; если а ≠ 1, а ≠ −1, – уравнение иррациональное.

2. Решение уравнения (неравенства) может включать в себя несколько методов решения, соответствующих каждому виду уравнения при определенных значениях параметра. Например, при каком-то значении параметра неравенство линейное, поэтому решаем его аналитически тождественными преобразованиями; при остальных значениях параметра неравенство квадратичное, – решаем его функционально-графическим способом.

Выделим в обучении решению уравнений (неравенств) пять уровней подготовки учащихся по теме «Уравнения и неравенства»:

1) умение решать простейшие уравнения (неравенства);

2) умение решать уравнения (неравенства), приведенные к простейшим, путем «несложных» тождественных преобразований (прибавление числа к обеим частям уравнения (неравенства), деление обеих частей уравнения (неравенства) на число, приведение к общему числовому знаменателю, приведение подобных и т.п.);

3) умение решать простейшие уравнения (неравенства) с параметрами и уравнения (неравенства), приводимые к ним путем «несложных» тождественных преобразований;

4) умение решать уравнения (неравенства), приведенные к простейшим, путем «сложных» преобразований (использование формул сокращенного умножения, замены переменой, разложения на множители, свойств функций и ее графика и др.);

5) умение решать уравнения (неравенства) с параметрами, приведенные к простейшим, путем «сложных» преобразований.

Уровни 1-й и 2-й обеспечивают репродуктивную деятельность школьника, 3-й и 4-й – как репродуктивную, так и продуктивную, 5-й уровень обеспечивает продуктивную деятельность школьника при решении уравнений и неравенств. При обучении должна соблюдаться преемственность развития вышеперечисленных уровней. Так, выпускники 8-го класса в процессе обучения должны уметь решать следующие уравнения в соответствии с уровнями подготовки:

2)

3) х2 + 2х + ах ‒ 3 = 0;

4) (х + 2)4 ‒ 3 = 2х2 + 4х;

5) (х + а)4 ‒ 4(х + а)2 = х2.

Значит, существует потребность методического обеспечения решения уравнений (неравенств) с параметрами на двух уровнях (3 и 5). Уровень 3 – это методика решения простейших уравнений (неравенств) с параметризацией различных числовых коэффициентов (табл. 1), и уровень 5 – более сложных уравнений (неравенств), решаемых аналитическим, функционально-графическим или геометрическим методами. Но простейшие уравнения (неравенства) с параметризацией различных коэффициентов не одинаковы по степени сложности. В табл. 1 более простая параметризация обозначена уровнем (3.1), более сложная – (3.2).

Различные виды параметризации уравнений и неравенств в 7–9 классах

Показательные уравнения, неравенства и системы с параметром

п.1. Примеры

Пример 1. Решите уравнение:
a) (3cdot 4^+27=a+acdot 4^)
(3cdot 4^-acdot 4^=a-27)
(4^(3-a)=a-27)
(4^=frac<3-a>)
По свойствам показательной функции дробь справа должна быть положительной:
(frac<3-a>gt 0Rightarrowfraclt 0)

(3lt alt 27)
(x-2=log_4frac<3-a>)
(x=2+log_4frac<3-a>)
Ответ:
При (aleq 3cup ageq 27) решений нет, (xinvarnothing)
При (3lt alt 27, x=2+log_4frac<3-a>)

2) (D=0) при (a=1, t=frac22=1)
(11^<|x|>=1=11^0Rightarrow |x|=0Rightarrow x=0) — один корень

Читайте также  Макроэкономический анализ инвестиций

3) (Dgt 0) при (alt 1, t_<1,2>=frac<2pm 2sqrt<1-a>><2>=1pm sqrt<1-a>)
Корень (t_2=1+sqrt<1-a>) положительный при всех (alt 1)
Получаем для (x: 11^<|x|>=1+sqrt<1-a>Rightarrow |x|=log_<11>(1+sqrt<1-a>))
(log_<11>(1+sqrt<1-a>)geq 0,) т.к. (1+sqrt<1-a>geq 1), логарифм может быть равен модулю.
Получаем пару решений: (x=pm log_<11>(1+sqrt<1-a>))

Для корня (t_1=1-sqrt<1-a>) решаем неравенство (учитывая (alt 1)):
( 1-sqrt<1-a>gt 0Rightarrowsqrt<1-a>lt 1Rightarrow begin 1-alt 1\ alt 1 end Rightarrow begin agt 0\ alt 1 end Rightarrow 0lt alt 1 )
Тогда (|x|=log_<11>(1-sqrt<1-a>), но log_11⁡(log_<11>(1-sqrt<1-a>lt 0) и не может быть равен модулю. Значит, для корня (t_1) решений нет.

Ответ:
При (agt 1) решений нет, (xinvarnothing)
При (a=1) один корень (x=0)
При (alt 1) два корня (x=pm log_<11>⁡(1+sqrt<(1-a)>)

Пример 2. При каких значениях (a) неравенство (4^x-acdot 2^x-a+3leq 0) имеет хотя бы одно решение?
Замена: (t=2^x)
Функция (f(t)=t^2-at-a+3) – это парабола ветками вверх, которая будет иметь отрицательную область значений, если (Dgt 0) и будет равна 0 при (D=0).
Неравенство будет иметь решение, когда у соответствующего уравнения появятся корни.
(D=a^2-4cdot (-a+3)=a^2+4a-12geq 0)
((a+6)(a-2)geq 0)

(aleq -6cup aleq 2)

Решение квадратного уравнения: (t_<1,2>=frac><2>)
По свойству показательной функции, (t) должно быть положительным.
Для первого корня: begin a-sqrtgt 0Rightarrow sqrtlt aRightarrow begin agt 0\ a^2+4a-12geq 0\ a^2+4a-12lt a^2 end Rightarrow \ begin agt 0\ aleq -6cup ageq 2\ alt 3 end Rightarrow begin 0lt alt 3\ aleq -6cup ageq 2 end Rightarrow 2leq alt 3 end Для второго корня: begin a+sqrtgt 0Rightarrow sqrtgt -aRightarrow left[ begin begin -alt 0\ a^2+4a-12geq 0 end \ begin -ageq 0\ a^2+4a-12gt (-a)^2 end end right. Rightarrow\ Rightarrow left[ begin begin agt 0\ aleq -6cup ageq 2 end \ begin aleq 0\ agt 3 end end right. Rightarrow ageq 2 end Таким образом, у неравенства будет хотя бы одно решение при (ageq 2)
Ответ: (ainleft.left[2;+inftyright.right))

Пример 3. При каких значениях (a) оба корня уравнения (16^x-acdot 4^x+2=0) принадлежат отрезку [0;1]?

Замена: (t=4^xgt 0)
(t^2-at+2=0)
(D=a^2-8)
(Dgeq 0) при (|a|geq 2sqrt<2>)
Решение уравнения: (t_<1,2>=frac><2>)
По условию (0leq x_<1,2>leq 1,) что для замены даёт (4^0leq 4^>leq 4^1, 1leq t_<1,2>leq 4)
Условие выполняется, если одновременно ( begin t_1geq 1\ t_2leq 4 end )
Решаем систему: begin begin frac><2>geq 1\ frac><2>leq 4 end Rightarrow begin a-sqrtgeq 2\ sqrtleq 4-a end Rightarrow\ Rightarrow begin begin a-2geq 0\ a^2-8geq 0\ a^2-8leq (a-2)^2 end \ begin 4-ageq 0\ a^2-8geq 0\ a^2-8leq (4-a)^2 end end Rightarrow begin ageq 2\ aleq 4\ aleq -2sqrt<2>cup ageq 2sqrt<2>\ a^2-8leq a^2-4a+4\ a^2-8leq 16-8a+a^2 end Rightarrow begin 2sqrt<2>leq aleq 4\ aleq 3\ aleq 3 end Rightarrow \ Rightarrow 2sqrt<2>leq aleq 3 end Ответ: (ain[2sqrt<2>;3])

Пример 4. При каких значениях (a) система ( begin 2^x-y+1=0\ |x|+|y|=a end ) имеет ровно одно решение?
Запишите это решение.

Решаем графически.
(y=2^x+1) – это кривая показательной функции (y=2^x), поднятая на 1 вверх.
(|x|+|y|=a) — это множество квадратов с центром в начале координат и вершинами на осях в точках ((pm a;0),(0;pm a)).

Одна точка пересечения при (a=2). Решение – точка ( begin x=0\ y=2 end )
При (alt 2) решений нет.
При (agt 2) — два решения.

Ответ: При (a=2, begin x=0\ y=2 end )

Реферат: Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

§ 1. Основные определения

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§ 2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.

I. Решить уравнение

(1)

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

Если а Î , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

—>ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ «

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • »
  • Задания с параметрами. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

    Задания с параметрами в курсе «Алгебры и начал математического анализа» 10 класс

    Просмотр содержимого документа
    «Задания с параметрами. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс»

    Задания с параметрами в учебнике 10 класса

    Мороз Лидия Васильевна,

    учитель математики

    ГБОУ ЛНР «Краснолучский

    учебно-воспитательный

    комплекс № 6 «Созвездие»

    В учебнике 10 класса встречаются следующие задания с параметрами:

    • – линейные уравнения (№ 1322,
    • – квадратные уравнения (№ 1396,

    • – логарифмические уравнения (№ 353);
    • – тригонометрические уравнения (№ 646, 647, 687, 688, 689, 1605).

    Системы уравнений:

    • – система логарифмических уравнений (№ 1569);
    • – система уравнений, одно из которых

    тригонометрическое (№ 1570, № 1609).

    Неравенства:

    • – дробно-рациональные неравенства (№ 1611);
    • – неравенства с модулем (№ 1579);
    • – иррациональные неравенства (№ 191);
    • – логарифмические неравенства (№ 406,
    Читайте также  Российский рынок акций: анализ и перспективы развития

    1322. При каком значении а , уравнение

    а ( х – 3) + 8 = 13 ( х + 2) имеет корень, равный 0?

    Корень уравнения обращает его в верное равенство. Подставим х = 0 в уравнение, получим:

    0, m Наименьшее целое число, большее числа 1/3 и не равное 1 – это 2. Ответ: 2 » width=»640″

    1396. При каком наименьшем целом значении m уравнение ( m – 1) x 2 – 2 ( m + 1) x + m – 3 = 0 имеет два различных действительных корня?

    При m = 1 уравнение является линейным и не может иметь

    Рассмотрим случай m ≠ 1. Квадратное уравнение имеет два

    различных действительных корня, если дискриминант

    D 1 = ( m +1) 2 − ( m − 1)( m − 3) = 6 m − 2.

    6 m − 2 0, m

    Наименьшее целое число, большее числа 1/3 и не равное

    353. Найти все значения параметра а , при которых уравнение 5log 5 x+ log a x – 4log 25 x = a имеет корни.

    2 корней нет, при — 2 ≤ a ≤ 2 корни x = ± arccosa/2 + 2 πn , n ϵ Z. » width=»640″

    646. Найти все значения а , при которых уравнение 4sin 2 x + 2( a — 3) cos x + 3 a — 4 = 0 имеет корни, и решить это уравнение.

    4(1- cos 2 x )+ 2( a — 3)cos x + 3 a — 4 = 0; 4cos 2 x — 2( a — 3)cos x — 3 a = 0;

    cos x = t. Имеем: 4 t 2 – 2( a – 3) t – 3 a = 0;

    D 1 = ( a – 3) 2 + 12 a = a 2 – 6 a + 9 + 12 a = ( a + 3) 2 ≥ 0 для любых значений а .

    t 1 = a/2, t 2 = — 3/2.

    cos( x/2) = a . Уравнение имеет корни, только если

    — 2 ≤ a ≤ 2 . x = ± arccos a/2 + 2π n , n ϵ Z. cos x = — 3/2. Уравнение не имеет корней.

    Ответ: при а a 2 корней нет, при — 2 ≤ a ≤ 2 корни

    x = ± arccosa/2 + 2 πn , n ϵ Z.

    688. Найти все значения а , при которых уравнение sin 10 x + cos 10 x = a имеет корни.

    ((1- cos2x )/2) 5 +((1+ cos2x )/2) 5 = a.

    ( а + b ) 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 ab 4 + b 5

    и преобразовав тригонометрическое

    уравнение имеем: 5 cos 4 +10 cos 2 2х+ 1- 16 а=0

    Пусть cos 2 2х=t , 0 ≤ t ≤ 1. Тогда

    5 t 2 + 10 t + 1 – 16 a = 0,

    D 1 = 25-5+80 а=20+80а.

    Уравнение имеет корни, если 20 + 80 а ≥ 0, то есть а≥ –0,25. Поэтому находим значение переменной t, учитывая ограничения имеем:

    Из первого неравенства имеем ≤а≤1. Второе неравенство

    решений не имеет.

    1611 (1). Найти все значения а , при которых

    является верным при всех значениях х неравенство:

    Квадратный трехчлен, находящийся в знаменателе

    дроби, имеет отрицательный дискриминант,

    положительный первый коэффициент, поэтому

    знаменатель не обращается в 0 при любых х .

    8х 2 -4х+3≤а(4х 2 -2х+1), (8-4а)х2+2(а-2)х+3-а≤0

    В случае, если 8 – 4 а = 0, то есть а = 2

    неравенство 0 х 2 + 0 х + 3 – 2 ≤ 0 решений не имеет.

    При а ≠ 2 неравенство является верным при всех значениях

    х , если первый коэффициент отрицательный и дискриминант

    квадратного трехчлена неположительный, то есть

    Уравнение 3a 2 -16a+20=0 имеет корни

    Имеем систему неравенств

    1569 Решить систему уравнений и установить, при каких значениях параметра а она имеет решение:

    Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

    Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

    Исполнитель: Бугров С К.

    Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

    Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

    В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

    §1. Основные определения

    ¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

    где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

    Любая система значений переменных

    а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

    при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

    Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

    Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

    Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

    Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

    а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

    б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

    §2. Алгоритм решения.

    Находим область определения уравнения.

    Выражаем a как функцию от х.

    В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

    Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.

    I. Решить уравнение

    (1)

    Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

    или

    График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

    Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

    Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

    Если а Î , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

    и .

    Если а Î , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

    Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È , то ;

    Если а Î , то , ;

    Если а Î , то решений нет.

    II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.

    Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

    В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

    Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную

    Ответ: .

    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: