Теория поля и элементы векторного анализа - ABCD42.RU

Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа

_______________________________________________________________________________________________

6.1. Скалярное поле.

6.1.1. Поверхности и линии уровня скалярного поля.

6.1.1-1. Найти линию уровня для функции z = x ² + y ² + 2 y .

Решение:

z = x ² + y ² + 2 y.
линии уровня – ?
x ² + y ² + 2 y = c , ( c – постоянная, выбирается из геометрических соображений).
Преобразуем последнее равенство
9 x ² + ( y ² + 2 y + 1) = c + 1 или
x ² + ( y + 1)² = c + 1, (1)
где с + 1 > 0 т.е. с > -1.
С геометрической точки зрения уравнение (1) – это множество окружностей с центром в точке (0; -1) и радиусом r = √( c + 1).
Ответ: x ² + ( y + 1)² = c + 1 – множество окружностей с центром в точке (0; -1) и радиусом
r = √( c + 1), (с > -1).

________________________________________________________________________________________________

6.1.3. Производная по направлению скалярного поля.

6.1.3-1. Найти производную скалярного поля u = x ² — 2 xz + y ² в точке М(1; 2; -1) по направлению вектора ММ₁ , где точка М₁ имеет координаты М₁ = (2; 4; -3).

Решение:

Для удобства вектор ММ₁ обозначим: ММ₁ = e .
Производную скалярного поля u ( x ; y ; z ) в точке М по направлению вектора e ищем по формуле:

Вычислим значения частных производных функции u = x ² — 2 xz + y ² в точке М(1; 2; -1):

где проекции вектора e соответственно на оси X , Y , Z равны:
e ₓ = (М₁)ₓ — (М)ₓ = 2 — 1 = 1;
ey = (М₁) y — (М) y = 4 — 2 = 2;
ez = (М₁) z — (М) z = — 3 — (- 1) = — 2,
а модуль e вектора e равен:

= 4·(1/3) + 4·(2/3) — 2·(- 2/3) = 16/3.

Ответ:
= 16/3.

6.2. Векторное поле.

6.2.8. Специальные виды векторных полей.

6.2.8.1. Потенциальное векторное поле.

6-2. На частицу массой m = 100 г действует сила
F = ( α / x ²) i + ( α / y ²) j + ( α / z ²) k , где α = 5 Н·м².
Определить работу этой силы по перемещению частицы из точки М₁ = <1,3,2>м, в точку М₂ = <3,2,1>м.

Решение:
m = 0,1 кг
F = (α/x²)i + (α/y²)j + (α/z²)k
α = 5 Н·м²
М₁ = <1,3,2>м
М₂ = <3,2,1>м
A − ?
Из условия имеем
X (x,y,z) = α/x²
Y (x,y,z) = α/y² (1)
Z (x,y,z) = α/z²,
где X (x,y,z), Y (x,y,z), Z (x,y,z) – проекции вектора F на оси OX, OY, OZ соответственно.
Заданная векторная функция F непрерывно дифференцируема в пространстве R ³ (кроме точки x = y = z = 0). Следовательно, в этой области дифференцируемости существует ротор вектора F . Вычислим ротор вектора F вектор формуле:
rot F = (∂ Z /∂ y — ∂ Y /∂ z ) i + (∂ X /∂ z — ∂ Z /∂ x ) j + (∂ Y /∂ x — ∂ X /∂ y ) k .
Имеем с учётом (1)
rot F = (0 — 0) i + (0 — 0) j + (0 – 0) k = 0.
Так как rot F = 0, то заданное силовое поле F потенциально. Потенциал U ищем по формуле
x y z
U ( x , y , z ) = ∫ X ( x , y ₀, z ₀) dx + ∫ Y ( x , y , z ₀) dy + ∫ Z ( x , y , z ) dz .
x ₀ y ₀ z ₀
Здесь М₀ ( x ₀ , y ₀ , z ₀) – любая фиксированная точка пространства R ³ (кроме точки x = y = z = 0).
Имеем, с учётом (1),
x y z x y z
U ( x , y , z ) = ∫ ( α / x ²) dx + ∫ ( α / y ²) dy + ∫ ( α / z ²) dz = (- α / x ) | + (- α / y ) | + (- α / z ) | =
x ₀ y ₀ z ₀ x ₀ y ₀ z ₀
= — α / x + α / x ₀ — α / y + α / y ₀ — α / z + α / z ₀ = — α / x — α / y — α / z + U ₀ ,
где U ₀ = α / x ₀ + α / y ₀ + α / z ₀ − постоянная. Получили
U ( x , y , z ) = — α / x — α / y — α / z + U ₀ . (2)
По (2) вычислим потенциалы U ₁ и U ₂ в точках М₁ = <1,3,2>и М₂ = <3,2,1>соответственно
U ₁ = U (1,3,2) = — α /1 — α /3 — α /2 + U ₀ ,
U ₂ = U (3,2,1) = — α /3 — α /2 — α /1 + U ₀ .
Потенциальная энергия W частицы массой m в силовом поле
W = mU.
Работа А силы F
A = W ₁ — W ₂ = m (U ₁ — U ₂ ) или
А = m (- α /1 — α /3 — α /2 + U ₀ ) – m (- α /3 — α /2 — α /1 + U ₀) = 0.
Ответ: A = 0.
____________________________________________________________________________________

База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

Теория поля и элементы векторного анализа — Математика

Теория поля и элементы векторного анализа

Элементы математической теории скалярных и векторных полей

Математическая теория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физического смысла. Поэтому получаемое в этой теории понятие и закономерности относятся ко всем конкретным полям.

Полем называется совокупность значений той или иной величины (скорость, плотность, давление и т.п.), заданных в каждой точке рассматриваемой области.

Если рассматриваемая величина

а) скаляр, то поле называется скалярным, например

б) вектор, то поле называется векторным

в) тензор, то поле называется тензорным

Если значения рассматриваемых величин не изменяются во времени, то поле называется стационарным (установившимся), если же они изменяются во времени, то поле называется нестационарным.

Здесь мы остановимся на рассмотрении свойств стационарных полей.

Скалярное поле

Характеристики скалярного поля

1) Скалярное поле характеризуется поверхностью уровня (см. рис.)

2) Градиент поля определяется как вектор, составленный из частных производных

Он направлен по нормали к поверхностям уровня и характеризует величину и направление наибыстрейшего изменения величины поля. Полный дифференциал скалярного поля можно представить в виде:

3) Производная по направлению (см. рис. 2) определяется как проекция градиента на данное направление

Частный случай: производная по нормали:

4) Частные и полные производные по времени

Рассмотрим нестационарное скалярное поле:

Скорость изменения r в фиксированной точке равна и называется частной производной (локальной производной). Пусть задана некоторая траектория в пространстве, где определено скалярное поле (рис. 3)

Скорость изменения r вдоль траектории определяется как полная производная по t от сложной функции и равна:

– конвективная производная, она связана с перемещением точки (частицы) из одной точки пространства в другую.

ОператорÑ «набла» – это греческое слово, означающее «арфа» – музыкальный инструмент, по форме напоминающий перевернутый треугольник.

Характеристики векторного поля

1) Векторная линия – кривая, направление которой в каждой ее точке совпадает с направлением вектора , отвечающего этой точке (см. рис. 4)

– коллинеарные (параллельные) векторы и, следовательно,

2) Производная от вектора по направлению определяется следующим образом:

– направляющие косинусы вектора , в декартовой системе координат.

Доказательство:

и так далее, подставим в , получим:

Итак, мы доказали

3) Частная и полная производные по времени от вектора

Доказательство:

4) Поток вектора через поверхность. Дивергенция

– поток векторной величины через элементарную площадку (элементарный поток)

векторный поток через незамкнутую площадку;

поток вектора через замкнутую площадку.

поток вектора скорости через поверхность S равен объему жидкости, протекающей через эту площадку поверхности за единицу времени.

По теореме Остроградского-Гаусса (рис. 7)

Сжимая объем и, следовательно получим, используя теорему осреднения

Следовательно, можно определить как предел

В гидродинамике поле скоростей имеет

дивергенция равна количеству жидкости, рассчитанному на единицу объема, вытекающему из данной точки пространства за одну секунду, т.е. равна мощности источника жидкости (если > 0).

Если Теория поля и элементы векторного анализа Элементы математической теории скалярных и векторных полей Математическая теория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физического смысла. Поэтому получаемое в это

Глава 13 Элементы теории поля и векторного анализа. 1 Понятие о задачах векторного анализа

    Лидия Небольсина 4 лет назад Просмотров:

1 346 Глава 3 Элементы теории поля и векторного анализа Понятие о задачах векторного анализа Раздел математики в котором изучают функции вида U UPt (, ), a apt (, ), P ( V), t [ t; t ] называется векторным анализом. В физике, электротехнике, теориях тепло- и массопереноса, упругости и пластичности методы векторного анализа используются для изучения скалярных и векторных полей., которые рассматриваются в качестве математических моделей конкретных процессов и явлений. Если процесс не зависит от времени, (стационарный) то характеризующая его функция не зависит от t. В данной главе будут рассматриваться только стационарные процессы. Скалярные поля и их основные характеристики. Поверхности и линии уровня скалярного поля Определение Стационарным скалярным полем называется пространство R n (или его часть — область (V)), в каждой точке Р которого определена скалярная функция U U( P) U( x, x. xn ) U( ), () где — радиус вектор точки Px (, x. x n ) Эту функцию, независимо от ее физического смысла, называют потенциалом скалярного поля. Основными характеристиками скалярного поля являются поверхности (линии) уровня, производная по направлению и градиент. Поверхностью уровня (эквипотенциальной поверхностью) скалярного поля () называется множество точек, в каждой из которых его потенциал U(P) сохраняет постоянное значение. Уравнение поверхности уровня в R 3 записывается в виде Ux (, x. xn ) C. (3) Если скалярное поле плоское, то рассматривают линии уровня, уравнения которых имеют вид Ux (, x) C. (4) Исследования скалярного поля с помощью этих геометрических характеристик в ряде случаев бывает очень наглядно. Пример Найти линии уровня и поверхности уровня следующих полей: sin ϕ ) Uxy (, ) x y ; ) U (, ϕ) ; 3 ) Uxyz (,, ) x y ; ) Уравнения x y C определяют семейство парабол y ( x C )

Читайте также  Анализ стихотворения - Нобелевская премия

2 347 sinϕ ) Уравнения линий уровня C C sinϕ в полярной системе координат определяют множество окружностей 3) Уравнения вида x y C в пространстве определяют семейство прямых круговых цилиндров. 3 Производная по направлению скалярного поля

3 348 Пусть в области (V) задано скалярное поле U( p) U. Рассмотрим точку P ( V) и какое либо фиксированное направление, определяемое единичным вектором τ. Через точку P проведем прям ую, ( l) ( V),параллельн ую вектору τ и выберем на ней точку Р. Средняя скорость изменения потенциала UP ( ) в направлении τ может быть представлена как отношение приращения потенциала к величине перемещения: ΔU UP ( ) UP ( ) PP PP Если существует предел этого отношения в случае, когда точка Р, двигаяс ь по прямой l, стремится к точке P, то он выражает скорость изменения потенциала UP ( ) в точке P в направлении вектора τ. Определение Производной функции UP ( ) в точке P в направлении вектора τ называется предел (если он существует) отношения приращения функции ΔU к величине перемещения PP, когда последнее стремится к нулю. Если перемещение в направлении вектора τ происходит по прямой l, то производная по направлению обозначается P ( ) def U lim Δ. (5) PP PP Заметим, что значение производной по направлению инвариантно относительно системы координат. ( ) P Вычислим в декартовой системе координат. Пусть функция U( x y z) енцируема в то P x, y, z. Приращение функции в вектора τ cos α, cos β, cos γ прямой ( l ) можно представить в виде U,, диффер чке ( ) направлении ( ) ΔU U( x Δx, y Δy, z Δz) U( x, y, z )

4 349 где ( Δx) ( Δy) ( Δz) пределу, когда : ( ) ( P) ( P) Δx Δy Δ z o( ρ) P x y z Δ, (6). Разделим обе части равенства (6) на и перейдем к ( ) Δx P ( ) Δy P ( ) Δz o( ) ΔU P lim lim lim lim lim x y z Так как Δ x Δ Δ cos α, y cos β, z cos γ, то с учетом ( ) o lim P получаем ( ) P ( ) UP ( ) UP ( ) В случае плоского поля получаем cosα cos β cos γ (7) x y z P ( ) ( P ) U( P ) cosα cos β x y Пример Найти производную скалярного поля u xyz в точке P ( ; ; ) по направлению вектора PP, если точка P имеет координаты (;3;). Найдем направляющие косинусы вектора PP ( 4 ;; ). Его длина PP. Следовательно cos α ; cos β 4 ; cosγ. Вычисляем частные производные функции Uxyz ( ) P ( ) P ( ) P ( ) ( ),, в точке P ; ; : yz, xz, yx P P P x y z. По формуле (7) получаем ( P ) ; Пример Найти производную скалярного поля Uxy ( ) (, actgxy) в точке P ( ; ), принадлежащей параболе y x по направлению этой кривой ( в направлении возрастания абсциссы). Вектор τ в этом случае определяется с помощью касательной к параболе в P ; точке ( )

5 35 tgα y x, tgα y () cos α, cos β sin α. tg α 5 tg α 5 Вычисляем значения частных производных P ( ) y P ( ) x,. x x y y x y Окончательно получаем: U ( P ) P P 3 5 ; Градиент скалярного поля Определение Градиентом скалярного поля U(P) в случае P R 3 в точке P называется вектор, обозначаемый gadup ( ), проекциями которого на оси декартовой системы координат являются частные производные функции U(P) по соответствующим переменным, т.е. ( ) gadu P ( ) P ( ) P ( ) def P i j k x y z (8) Установим зависимость между скалярной характеристикой скалярного поля (производной по направлению) и векторной характеристикой gad UP ( ) α β cos cos cos γ x y z ( α β γ ) x i U y j U z k i j k, cos cos cos ( gadu, ) gadu cos gadu t τ τ,

6 35 gadu cos gadu, t np gadu np τ ( ) gadu l (9) Соотношение (9) позволяет определить направление быстрейшего возрастания поля в данной точке: если достигает наибольшего значения, если правая часть равенства (9) принимает наибольшее положительное значение, т.е. когда вектор τ направлен так же, как и gad UP ( ). Следовательно, направление градиента является направлением наибыстрейшего возрастания скалярного поля в данной точке. Модуль градиента равен наибольшей скорости возрастания потенциала скалярного поля U(P) в данной точке (т.к. наибольшее значение проекции вектора равно его модулю): max gadu( P) x y z Отметим еще одну характеристику градиента скалярного поля: градиент направлен по нормали к поверхности уровня в данной точке. Действительно, поверхность уровня в случае декартовой системы координат имеет вид Uxyz (,, ) C. Запишем уравнение нормали в точке P( x, y, z) : x x y y z z U P U P U P ( ) ( ) ( ) x y z () Можно сформулировать инвариантное по отношению к системе координат определение градиента Определение Градиентом скалярного поля называется вектор, имеющий направление наибольшего возрастания потенциала поля в данной точке и модуль, равный значению производной от потенциала поля по этому направлению Пример Найти градиент поля U x xyz в точке P ; ; и наибольшую скорость изменения потенциала поля в этой точке. ( P) ( P) ( P) ( x yz), xz, xy. x P P P y z Тогда ( )

7 35 gadu( P ) j k, max 5. Перечислим основные свойства градиента. gadc, c const ;. ( ) 3. ( ) gad C U ± C U C gadu ± C gadu ; gad U U U gadu ± U gadu ; 4. gad U U 5. ( ) ( ) U gadu UgadU ; U U ; gadf U f U gadu; Эти свойства следуют из определения градиента и правил дифференцирования. Докажем для примера свойства 3 и 5: ( UU ) ( UU ) gad( UU ) i j x y ( U ) ( U) ( ) ( ) U i U x x i U j U j y y ( ) ( ) ( ) ( ) U i j U x y x i j y U gadu U gadu т.е. 3 свойство доказано. Докажем 5 свойство fu ( ) ( ) gadf ( U ) fu f U i j x y U x i f y j f ( ) x i U y j f gadu f U gadu. 5 Векторные поля и их основные характеристики Определение Стационарным векторным полем называется пространство R n или часть его, в каждой точке Р которого определена векторная функция a a( P) a( ), где радиус вектор. В трехмерном пространстве в случае декартовой системы координат задание векторного поля определяется тремя векторными функциями: a a P X x, y, z i Y x, y, z j Z x, y, z k. () ( ) ( ) ( ) ( ) Основными характеристиками векторного поля являются векторные линии, поток и дивергенция, циркуляция и вихрь. Векторной (силовой) линией векторного поля называется линия, для которой в каждой ее точке Р вектор ap ( ) направлен по касательной к данной линии.

8 353 Если t () xti () ytj () ztk () — уравнение векторной линии (L) векторного поля (), то, как известно вектор d dxi dyj dzk ap, в каждой точке направлен по касательной к (L) и потому коллинеарен вектору ( ) тогда dx dy dz Xxyz (,, ) Yxyz (,, ) Zxyz (,, ). () Мы получили систему дифференциальных уравнений, определяющую векторные линии. Эту систему запишем иначе: dy Yxyz (,, ) dz Zxyz (,, ), dx X( x, y, z) dx X( x, y, z) Решение системы () имеет вид ϕ( x, y, z) c, ϕ ( x, y, z) c. Пример. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника, по которому проходит ток силой I. Выберем направление оси Oz, совпадающее с направлением тока I. В этом случае вектор напряженности магнитного поля H [ I, ], ρ где I Ik — вектор тока; вектор радиус вектор точки Р(x,y,z); ρ-расстояние от оси проводника до точки Р. i j k [ I, ] I yii xij, x y z I I H yi xj ρ ρ

9 354 Система дифференциальных уравнений для определения векторных линий запишется в виде dx dy dz xdx ydy x y C,, y x dz, z C. т.е. векторными линиями являются окружности. Пусть a a( P) — векторное поле, определенное в ( V) R 3 Определение Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями, проходящими через точки некоторой замкнутой линии ( L) ( V) Любая векторная линия, не проходящая через точки кривой (L) либо целиком лежит в векторной трубке, либо не принадлежит ей. В каждой точке Р векторной трубки вектор ap, ( ) принадлежит плоскости, касательной к ее поверхности.

Читайте также  Формулы по математическому анализу

01 Элементы векторного анализа

Основные части и структура классической электродинамики. Элементы векторного анализа и математической теории поля .

1 . Исходные представления классической электродинамики

Классическая электродинамика — область физики, в которой изучаются классические (неквантовые) свойства электромагнитного поля и движущихся электрических и (гипотетических) магнитных зарядов, взаимодействующих друг с другом посредством этого поля.

Электромагнитное поле — физическое поле, взаимодействующее с электрически заряженными частицами вещества, а также с частицами, имеющими собственные дипольные и мультипольные электрические и магнитные моменты.

Электромагнитное взаимодействие — одно из четырех фундаментальных взаимодействий элементарных частиц (наряду с гравитационным, слабым и сильным), характеризуемое участием в нем электромагнитного поля. Электромагнитное взаимодействие определяет (на основе законов квантовой механики) возможность устойчивого состояния атомов и молекул.

В настоящее время сосуществуют две концепции электромагнитного поля — классическая и квантовая. Макроскопическое (классическое) электромагнитное поле рассматривается как непрерывное силовое поле, обладающее распределенной энергией, массой, импульсом и моментом импульса. В квантовой физике электромагнитное поле интерпретируют как газ элементарных частиц «фотонов» (квантовая электродинамика). Согласованность этих двух противоположных, на первый взгляд, концепций объясняется тем, что фотоны имеют целый спин и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, т.е. способны образовывать конденсат — занимать одно и то же квантовомеханическое состояние. Конденсат большого числа фотонов определяет свойства классического электромагнитного поля.

Свойства электромагнитного поля «в чистом виде» проявляются при изучении действия его источников в вакууме. Всякая материальная среда состоит из простейших частиц — атомов, электронов, молекул, которые всегда обладают определенными электромагнитными свойствами. Эти их свойства, а также взаимное пространственное расположение частиц и состояние их движения относительно друг друга являются причиной той или иной реакции данной среды на внешнее поле. С макроскопической точки зрения оказывается по большей части возможным не учитывать дискретности строения вещества и описывать его в виде непрерывного распределения источников поля. Электромагнитные свойства материальных сред чрезвычайно разнообразны, но они описываются с помощью всего двух макроскопических характеристик — электрической поляризации и намагниченности.

Математическую формулировку основных законов электромагнитного поля с учетом макроскопических свойств материальных сред представляет собой система уравнений Максвелла. Такая наиболее общая формулировка должна быть, по возможности, независимой от тех или иных конкретных предположений о микроскопической структуре сред. Разумеется, одна из основных задач физической теории состоит в микроскопическом объяснении наблюдаемых фактов. Более того, именно микроскопическая теория часто позволяет предсказать новые физические явления и способы их наблюдения. Однако феноменологическое описание, которым мы и ограничимся в дальнейшем, имеет свое преимущество: оно использует только характеристики явлений, измеримые хотя бы в принципе с помощью макроскопических приборов. Любая микроскопическая теория со своей стороны должна неизбежно приводить к определенным выводам именно по отношению к феноменологическим характеристикам, предсказывать и объяснять то или иное

Основные части и структура классической электродинамики

их поведение. Это замечание относится не только к классической электронной теории, но и к современной квантовой теории строения вещества. По меткому замечанию Нильса Бора «недвусмысленное истолкование любого измерения должно быть, по существу, выражено в терминах классических теорий, и мы можем сказать, что в этом смысле язык Ньютона и Максвелла останется языком физиков на все времена».

Электромагнитные поля в вакууме и сплошных средах подчиняются уравнениям Максвелла. Изучение этих уравнений и следствий, к которым приводят их решения, и будет составлять основное содержание нашего курса. Он состоит из двух частей «Электродинамика» и «Электродинамика сплошных сред».

2. Краткая история

Установлению уравнений Максвелла предшествовал ряд открытий законов взаимодействия заряженных, намагниченных и токонесущих тел (законы Кулона, БиоСавара, Ампера). В 1831 году Фарадей открыл закон электромагнитной индукции и ввел понятие электрического и магнитного полей как самостоятельных физических субстанций. Опираясь на фарадееевское представление о поле, и введя ток смещения, равнозначный по своему магнитному действию обычному току, Максвелл (1864 г.) сформулировал систему уравнений, названную впоследствии уравнениями Максвелла. Уравнения Максвелла функционально связывают электрические и магнитные поля с зарядами и токами и охватывают собой все известные закономерности макроэлектромагнетизма.

Физическая основа уравнений Максвелла — принцип близкодействия, утверждающий, что передача электромагнитных возмущений от точки к точке происходит с конечной скоростью (в вакууме со скорость света с). Он противопоставлялся ньютоновскому принципу дальнодействия, сводящемуся к мгновенной передаче воздействий на любое расстояние (с

3. Элементы векторного анализа. Дифференциально-векторные тождества .

Математическим аппаратом теории Максвелла послужил векторный анализ — раздел математики, в котором изучаются скалярные и векторные поля и различные операции над ними.

Скалярное поле сопоставляет каждой точке трехмерного пространства некоторое действительное число ( r ), а векторное поле — некоторый вектор a = a(r) .

г = х i + y j + z k , a = a x i + a y j + a z k

Градиент скалярного поля — вектор, направленный по нормали к поверхности уровня ( = const) в сторону возрастания функции и численно равный скорости изменения функции по этому направлению

grad = i + j + k x y z

Для записи градиента можно использовать векторный дифференциальный оператор Гамильтона или набла-оператор —

Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля
и элементы векторного анализа

Элементы
математической теории скалярных и векторных полей

Математическая
теория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного
физического смысла. Поэтому получаемое в этой теории понятие и закономерности
относятся ко всем конкретным полям.

Полем называется совокупность
значений той или иной величины (скорость, плотность, давление и т.п.), заданных
в каждой точке рассматриваемой области.

Если
рассматриваемая величина

а) скаляр,
то поле называется скалярным, например

б) вектор,
то поле называется векторным

в) тензор,
то поле называется тензорным

Если значения
рассматриваемых величин не изменяются во времени, то поле
называется стационарным (установившимся), если же они изменяются во времени, то поле
называется нестационарным.

Здесь мы
остановимся на рассмотрении свойств стационарных полей.

Характеристики
скалярного поля

1)
Скалярное
поле характеризуется поверхностью уровня (см. рис.)

2)
Градиент
поля

определяется как вектор, составленный из частных производных

Он направлен
по нормали к поверхностям уровня и характеризует величину и направление
наибыстрейшего изменения величины поля. Полный дифференциал скалярного поля можно представить в виде:

3)
Производная
по направлению
(см. рис. 2) определяется как
проекция градиента на данное направление

Частный
случай: производная по нормали:

4)
Частные
и полные производные по времени

Рассмотрим
нестационарное скалярное поле:

Скорость
изменения r в фиксированной точке равна и называется частной производной (локальной
производной). Пусть задана некоторая траектория в пространстве, где определено
скалярное поле (рис. 3)

Скорость изменения
r
вдоль траектории определяется как полная производная по t от сложной функции и
равна:

– конвективная производная, она связана с
перемещением точки (частицы) из одной точки пространства в другую.

ОператорÑ «набла» – это
греческое слово, означающее «арфа» – музыкальный инструмент, по форме
напоминающий перевернутый треугольник.

Характеристики
векторного поля

1)
Векторная
линия

кривая, направление которой в каждой ее точке совпадает с направлением вектора , отвечающего этой точке (см. рис. 4)

Читайте также  Анализ эффективности капитальных и финансовых вложений


коллинеарные (параллельные) векторы и, следовательно,

2)
Производная
от вектора по направлению определяется следующим образом:

– направляющие косинусы вектора , в декартовой системе координат.

Доказательство:

и так далее, подставим
в , получим:

Итак, мы
доказали

3)
Частная
и полная производные по времени от вектора

Доказательство:

4)
Поток
вектора через поверхность. Дивергенция

– поток векторной величины через элементарную
площадку (элементарный поток)

векторный
поток через незамкнутую площадку;

поток вектора
через замкнутую площадку.

поток вектора
скорости через поверхность S равен объему жидкости, протекающей через эту
площадку поверхности за единицу времени.

Сжимая объем и, следовательно получим,
используя теорему осреднения

Следовательно,
можно определить как предел

В
гидродинамике поле скоростей имеет

дивергенция
равна количеству жидкости, рассчитанному на единицу объема, вытекающему из
данной точки пространства за одну секунду, т.е. равна мощности источника
жидкости (если > 0).

Скалярные и векторные поля

Производная скалярного и векторного поля.

Будем рассматривать пространство, подчиняющееся законам геометрии Евклида. Напомним, что каждой паре точек (A) и (B) пространства можно поставить в соответствие вектор (overrightarrow). Векторы складываются и умножаются на вещественные числа по известным из курса аналитической геометрии правилам, для любых двух векторов определено скалярное произведение.

Если выбрана декартова система координат, то каждая точка пространства определяется заданием трех чисел — координат точки, каждый вектор определяется заданием трех своих компонент по осям координат.

Скалярное поле.

В случаях, когда в некоторой области (Omega) определена функция (f: Omega rightarrow R), то говорят, что в области (Omega) задано скалярное поле. Если выбрана координатная система, то положение точки (M in Omega) определяется заданием трех ее координат, и функция (f: Omega rightarrow R) будет функцией трех переменных (f(x, y, z)). В физике рассматривают скалярные поля давлений, температур, плотностей и так далее.

Перефразируем некоторые известные понятия дифференциального исчисления па геометрическом языке.

Говорят, что скалярное поле (f) дифференцируемо в точке (M_<0>), если найдется такой вектор (boldsymbol), что
$$
f(M)-f(M_<0>) = (overrightarrowM>, boldsymbol) + o(|overrightarrowM>|) mbox<при> M rightarrow M_<0>.label
$$

Вектор (boldsymbol) будем называть производной скалярного поля (f) в точке (M_<0>) и обозначать (nabla f (M_<0>)).

Запись (nabla f) читается как “набла эф”.

Если в пространстве задана декартова система координат, точки (M(x, y, z)), (M_<0>(x_<0>, y_<0>, z_<0>)) и вектор (boldsymbol = boldsymbol c_ <1>+ boldsymbol c_ <2>+ boldsymbol c_<3>), то
$$
overrightarrowM> = (x-x_<0>)boldsymbol + (y-y_<0>)boldsymbol + (z-z_<0>)boldsymbol,nonumber
$$
$$
|overrightarrowM>| = [(x-x_<0>)^ <2>+ (y-y_<0>)^ <2>+ (z-z_<0>)^<2>]^<1/2>.nonumber
$$

Записывая формулу eqref в координатах, получаем
$$
f(x, y, z)-f(x_<0>, y_<0>, z_<0>) = c_<1>(x-x_<0>) + c_<2>(y-y_<0>) + c_<3>(z-z_<0>) +\+ o(sqrt<(x-x_<0>)^ <2>+ (y-y_<0>)^ <2>+ (z-z_<0>)^<2>>)label
$$
при ((x, y, z) rightarrow (x_<0>, y_<0>, z_<0>)).

Будем в дальнейшем обращаться с (nabla) как с символическим вектором (дифференциальным оператором), ставящим в соответствие скалярной функции ее производную. Тогда равенство eqref можно записать в следующем виде:
$$
f(M)-f(M_<0>) = (overrightarrowM>, nabla f (M_<0>)) + o(|overrightarrowM>|) mbox<при> M rightarrow M_<0>.label
$$

С оператором (nabla) можно обращаться, как с обычным вектором, если договориться, что он действует как дифференциальный оператор на функции, стоящие в записи справа от оператора (nabla), а с функциями и векторами, стоящими в записи слева, перемножается, как обычный вектор.

Пусть (boldsymbol = b_ <1>boldsymbol + b_ <2>boldsymbol + b_ <3>boldsymbol) — произвольный вектор. Определим дифференциальный оператор (boldsymbol nabla) равенством (boldsymbol nabla = (boldsymbol, nabla)). Тогда
$$
boldsymbol nabla = (boldsymbol, nabla) = b_ <1>frac + b_ <2>frac + b_ <3>frac.label
$$
Используя этот оператор, можно формулу eqref переписать в следующем виде:
$$
f(M)-f(M_<0>) = (overrightarrowM>, nabla) f (M_<0>) + o(|overrightarrowM>|) mbox<при> M rightarrow M_<0>.label
$$

Пусть (boldsymbol) — единичный вектор. Рассмотрим луч, состоящий из всех точек (M), для которых (overrightarrowM> = boldsymbolt), (t > 0).

Производной скалярного поля (f) по направлению (boldsymbol) в точке (M_<0>) будем называть следующий предел:
$$
frac(M_<0>) = lim_ frac)>,quad overrightarrowM> = boldsymbol t, t > 0.nonumber
$$

Из формулы eqref следует, что для дифференцируемой в точке (M_<0>) функции выполняется равенство
$$
frac = (boldsymbol nabla) f(M_<0>).nonumber
$$
Символический вектор (nabla) называют также оператором Гамильтона.

Векторное поле.

Проектируя уравнение eqref на координатные оси, получаем равенства
$$
a_(M)-a_(M_<0>) = A_(x-x_<0>) + A_(y-y_<0>) + A_(z-z_<0>) + o(|overrightarrowM>|) mbox<при> M rightarrow M_<0>, i = overline<1, 3>,label
$$
где ((A_)) — матрица линейного преобразования (A). Из равенств eqref следует, что компоненты (a_(M)), (i = overline<1, 3>), дифференцируемы в точке (M_<0>). Верно и обратное утверждение. Из дифференцируемости компонент (a_(M)) следует и дифференцируемость векторного поля в точке (M_<0>).

Используя формулу eqref, запишем равенства eqref в следующем виде:
$$
a_(M)-a_(M_<0>) = (overrightarrowM> nabla)a_(M_<0>) + o(|overrightarrowM>|) mbox<при> M rightarrow M_<0>.
$$

Так как определение линейного преобразования (A) не зависит от выбора координатной системы, то и результат применения оператора (overrightarrowM> nabla) к (boldsymbol(M_<0>)) не зависит от выбора координатной системы.

Линейное преобразование (A) в формуле eqref определено однозначно.

(circ) Допустим, что существуют два линейных преобразования (A_<1>) и (A_<2>) таких, что для них выполнено равенство eqref. Тогда, вычитая соответствующие равенства, получим, что
$$
(A_<1>-A_<2>)overrightarrowM> = boldsymbol(|overrightarrowM>|) mbox<при> M rightarrow M_<0>.label
$$
Пусть (boldsymbol) — произвольный вектор, (t) — произвольное положительное число и (overrightarrowM> = boldsymbol t). Тогда равенство eqref принимает следующий вид:
$$
t(A_<1>-A_<2>)boldsymbol = boldsymbol(t) mbox<при> t rightarrow +0.label
$$

Деля равенство eqref на (t) и переходя к пределу при (t rightarrow +0), получаем, что ((A_<1>-A_<2>)boldsymbol = 0). Так как вектор (boldsymbol) произвольный, то (A_ <1>= A_<2>). (bullet)

Производная векторного поля по направлению (boldsymbol) в точке (M_<0>) определяется так же, как и производная по направлению для скалярного поля. Из формулы eqref получаем
$$
frac(M_<0>) = (boldsymbol nabla) boldsymbol(M_<0>).label
$$

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: