Множества. Операции над множествами - ABCD42.RU

Множества. Операции над множествами

Множества. Операции над множествами

Ключевые слова конспекта: множества, операции над множествами, подмножество, пересечение множеств, объединение множеств, элемент множества, числовые множества, обозначение некоторых числовых множеств.

В жизни часто приходится встречаться с различными совокупностями объектов, объединёнными в одно целое по некоторому признаку. Для обозначения этих совокупностей используются различные слова. Например, говорят: «стадо коров», «букет цветов», «команда футболистов» и т. д.

В математике в целях единообразия для обозначения совокупностей употребляется единый термин — множество. Например, говорят: множество чётных чисел, множество двузначных чисел, множество правильных дробей со знаменателем 5.

Термин «множество» употребляется и тогда, когда речь идёт о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек координатной плоскости, о множестве прямых, проходящих через данную точку.

Объекты или предметы, составляющие множество, называют элементами множества. Например, число 89 — элемент мнoжества двузначных чисел; точка В — элемент мнoжества вершин многоугольника ABCDE.

Множeства бывают конечные и бесконечные. Например, множество двузначных чисел — конечное множество (оно содержит 90 элементов), а множество чётных чисел — бесконечное множество.

Конечное мнoжество может содержать миллиард элементов, 2 элемента, 1 элемент или даже не содержать ни одного элемента.

Пустое множeство — это мнoжество, не содержащее ни одного элемента. Для обозначения пустого мнoжества ввели специальный знак ∅.

Конечные множeства обычно записывают с помощью фигурных скобок. Например, множество вершин пятиугольника ABCDE можно записать так: , а множество двузначных чисел, кратных 15, так: . В таких случаях говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Множeства принято обозначать большими буквами латинского алфавита. Например, рассмотренные выше множества вершин пятиугольника и двузначных чисел, кратных 15, можно обозначить соответственно буквами К и L и записать так: К = <А, В, С, D, Е>; L = <15, 30, 45, 60, 75, 90>.

Для основных числовых множеств введены специальные обозначения: множество натуральных чисел обозначают буквой N (от латинского слова natural — «естественный»), множество целых чисел — буквой Z (от немецкого слова zahl — «число»), множество рациональных чисел — буквой Q (от латинского слова quotient — «отношение»).

Число -8 является элементом мнoжества Z. Иначе говорят, что число -8 принадлежит множеству Z. Это предложение записывают короче: -8 Z. Число 0,17 не принадлежит множеству N (не является элементом множества N). Для выражения этого факта принята следующая запись: 0,17 ∉ N.

В тех случаях, когда задание множества перечислением элементов невозможно (как для бесконечного множества) или громоздко (как для конечного мнoжества с большим числом элементов), множество задают описанием, указав его характеристическое свойство, т. е. свойство, которым обладают все элементы этого множeства и не обладают никакие другие объекты.

Зададим с помощью описания некоторые мнoжества. Пусть А = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14>. Зададим это множество описанием, используя понятие характеристического свойства. Множeство А можно охарактеризовать как «множество всех натуральных чисел от 1 до 14 включительно», или как «множество всех натуральных чисел, меньших 15», или, используя знаки ,

Это конспект по математике на тему «Множества. Операции над множествами». Выберите дальнейшие действия:

  • Перейти к следующему конспекту:
  • Вернуться к списку конспектов по Математике.
  • Проверить знания по Математике.

Множество — виды, операции и примеры решения

Мы каждый день сталкиваемся с большим количеством одинаковых предметов, но не задумываемся о том, как называется совокупность этих объектов. Это множество — математическая единица, подчиняющаяся определенным законам и правилам, обладающая разными свойствами и функциями.

  • Что такое множество в математике и как оно обозначается
  • Множество натуральных чисел
  • Множество целых чисел
  • Множество рациональных чисел
  • Операции над множествами
  • Свойства операций над множествами

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками < >.

А = <а, в, с, у>– А состоит из четырех элементов.

Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = <к, л, т, р>, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = , а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

конечные — совокупности, имеющие максимальный и минимальный предел (например, отрезок);

бесконечные — не являющиеся конечными (например, числовые);

пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Если две разные совокупности содержат одинаковые элементы, то одна из них (со всеми своими элементами) является подмножеством другой и обозначается знаком — ⊆.

Пример: А = <а, в, с, у>и В = <а, в, с, е, к>– все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = <23, 29, 48>и В = <23, 29, 48>, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

К совокупности натуральных чисел (N) относятся цифры, используемые при счете — от 1 до бесконечности.

Натуральные числа используют для исчисления порядка предметов. Обязательное условие данной числовой группы — каждое следующее число больше предыдущего на единицу.

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Следовательно, N — подмножество Z, что можно записать как N ⊆ Z. Любое натуральное число можно назвать так же и целым.

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

5 = 5/1 = 10/2 = 25/5;

0,45 = 45/100 = 9/20.

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

Пересечение

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

умножения S ∩ D = D ∩ S;

сложения S ∪ D = D ∪ S.

Ассоциативность – сочетательные законы:

умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);

сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).

Дистрибутивность – законы распределения:

умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);

умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);

сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).

Транзитивность — законы включения:

если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;

если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.

Идемпотентность объединения и пересечения:

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам.

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.

Читайте также  Любовь в жизни Обломова. Обломов и Агафья Пшеницына

Теория множеств: основы и базовые операции над множествами

Мы знаем довольно много о структурах данных, понимаем их устройство, разбираемся, какие структуры работают быстро и помогают решать конкретные задачи. Но эти знания бесполезны, если мы не понимаем, как это использовать в реальной жизни. Это похоже на изучение геометрии в школе. Вы долго считаете предмет бесполезным, пока однажды не появляется необходимость рассчитать площадь пола, чтобы заказать новое ковровое покрытие. Впрочем, пользу геометрии можно почувствовать, даже если вы никогда не считали площадь пола в комнате самостоятельно.

Сегодня поговорим о структуре данных, которая в теории очень догматична, а на практике очень популярна. На самом деле вы так или иначе уже сталкивались с этой структурой, а также слышали о ней на уроках математики в школе. Вы уже догадались, что речь идёт о множествах.

Теория множеств без страха

Прежде чем разбирать устройство множеств, давайте поймём, откуда они появляются. То есть давайте сразу погрузимся в теорию — да-да, в теорию множеств! Не бойтесь сложностей — высока вероятность того, что вы уже так или иначе использовали эту теорию. Возможно, вы сталкивались с теорией множеств, когда проходили в школе диаграмму Венна. Диаграмму Венна включили в программу изучения множеств, так как она хорошо иллюстрирует отношения подмножеств.

Мы выяснили, что теория множеств не должна никого пугать. Теперь пришло время разобраться, что это за теория на самом деле. Множество — математическая концепция. Теорией множеств описывают отношения множеств.

Множество — ни что иное, как неупорядоченная коллекция, в которой нет дублирующихся элементов.

В этом определении есть три важных слова: «неупорядоченная», «дублирующихся» и «элементов». Эти слова точно передают суть и устройство множества. Если мы это запомним, то будем знать основную информацию о том, как работает эта структура данных.

Нужно понять, почему это важно. Для начала давайте посмотрим на множества в действии. Как сказано выше, отношения множеств удачно иллюстрирует диаграмма Венна. Давайте взглянем на два множества: книги, которые есть у человека дома, и книги, которые этот человек прочитал.

Если вы знакомы с диаграммой Венна, то понимаете, что в центре в зелёном круге находятся книги, которыми человек владеет, и которые он прочитал. Здесь множества пересекаются. Также вы понимаете, что два множества — прочитанные человеком книги и книги, которые есть у человека — существуют внутри другого множества. Это все существующие в мире книги.

Диаграмма Венна — хорошая база для понимания теории множеств, так как с её помощью легче понять более сложные вещи. Допустим, вы хотите представить два множества книг в какой-то структуре данных. Вы уже знаете, что книги надо разделить на два множества: которые человек прочитал и которые есть у него дома. Для удобства назовём первое множество Set X, а второе Set Y. Эти множества после реконфигурации в структуры данных можно представить с помощью диаграммы Венна.

Можно заметить, что множества Set X и Set Y стали похожи на объекты или хэши: элементы внутри них не имеют индексов или других элементов, позволяющих их упорядочить. В них также нет повторяющихся элементов, что делает эти структуры данных множествами. Как вы уже знаете, множество — это коллекция неупорядоченных элементов, которые не повторяются.

Начните изучать разработку с бесплатного курса «Основы современной вёрстки». Вы научитесь создавать статические веб-страницы, стилизовать элементы, использовать редакторы кода с полезными расширениями. В конце курса вы опубликуете свой первый сайт на GitHub Pages.

Об операциях с множествами без боли

Какие возможности открывает представление множеств в формате структур данных? С ними теперь можно выполнять разные операции. Две самые важные операции, которые выполняются над множествами — это пересечение и объединение.

Пересечение множеств часто записывается с помощью такой нотации: X ∩ Y. Пересечение определяет, где два множества пересекаются. Другими словами, эта операция возвращает все элементы, которые входят в два множества. В нашем примере пересечение Set X и Set Y возвращает все книги, которые человек читал и которые есть у него дома. Хороший ключ к пониманию пересечения — ключевое слово «и». Мы получаем книги, которые человек читал и которые есть у него дома. Несмотря на то, что полученные с помощью пересечения книги существуют в двух множествах, мы не повторяем их, так как в множестве могут быть только уникальные элементы.

Объединение двух множеств обозначается так: X ∪ Y. Объединение возвращает общность двух множеств или объединённое множество. Иными словами, с помощью объединения множеств можно получить новое множество элементов, которые существуют хотя бы в одном исходном множестве. В нашем случае объединение вернёт все книги, которые человек читал, а также все книги, которые есть у него дома. Обратите внимание, если книга входит одновременно в Set X и Set Y, она не может дублироваться в новом множестве после объединения, так как в множества входят только уникальные элементы.

С помощью диаграммы Венна пересечение и объединение можно представить так:

Теперь давайте рассмотрим более сложные вещи. Объединение и пересечение — важные операции над множествами, но это только азы теории. Нам надо познакомиться с другими операциями, чтобы решать более серьёзные задачи. Важно понимать разность множеств и относительные дополнения множеств. Ниже мы разберём, почему это важные операции, но сначала нужно понять, как они работают.

Как понятно из названия, разность множеств определяет разницу между множествами. Иными словами, мы определяем, какие элементы останутся в множестве X, если удалить из него все элементы, которые содержатся в множестве Y. Это действие можно обозначить так: X — Y. В примере на иллюстрации ниже разница между множеством X и множеством Y — это элементы, которые существуют в Set X, но не существуют в Set Y. Они обозначены буквами C, Z и W.

Относительное дополнение — противоположность разности множеств. Например, относительное дополнение Y по сравнению с X возвращает все элементы множества Y, которые не входят в множество X. Относительное дополнение можно обозначить так: X Y. Относительное дополнение X Y фактически возвращает такой же набор элементов, как разность Y — X. В нашем примере множество Y меньше множества X. Единственный элемент, который входит в Set Y, но не входит в Set X — число 2.

По сути, мы просто вычитаем множество X из множества Y и отвечаем на вопрос: что существует в Y, чего нет в X?

Вы могли заметить, что в части примеров мы имеем дело со строками, в другой части в качестве элементов выступают буквы и числа. Здесь надо подчеркнуть важный момент: множество может включать любой тип элементов или объектов. Вы можете рассматривать множества как хэши: они включают любые сущности, если те встречаются во множестве только один раз.

Теперь давайте рассмотрим ещё одну операцию, она самая сложная из всех. Но не пугайтесь, с ней тоже можно разобраться.

В некоторых случаях требуется найти противоположность пересечению множеств. Иными словами, речь идёт о книгах, которые есть у человека, и книгах, которые он прочитал, но которые не входят одновременно в оба множества. Как назвать это подмножество? И как найти его?

Правильное название для этого кейса — симметрическая разность множеств. Также употребляют термины «дизъюнктивное объединение» и «несвязное объединение». Симметрическая разность возвращает все элементы, которые входят в одно из множеств, но не входят в пересечение этих множеств. Пример на иллюстрации поможет разобраться с дизъюнктивным объединением.

В примере выше симметрическая разность похожа на поиск относительного дополнения множества X и множества Y. Если подходить к этому с позиции математики, поиск симметричной разницы — то же самое, что и объединение относительных дополнений множества X и множества Y. Эту операцию можно записать так: X △ Y= (X ∖ Y) ∪ (Y ∖ X).

Но не дайте сбить себя с толку!

Читайте также:

Всё, что нужно для поиска симметрической разности — найти элементы, которые есть в множестве X, но отсутствуют в множестве Y, и какие элементы есть в множестве Y, но отсутствуют в множестве X. Иными словами, надо найти уникальные элементы в каждом множестве.

В примере выше числа 1, 2 и 3 входят в множества X и Y одновременно. А буквы A, B, C, X, Y, Z входят только в множества X или Y. Поэтому они представляют симметрическую разность множеств X и Y.

Мы рассмотрели теоретические вопросы. Теперь можно посмотреть, как теория множеств работает на практике.

Множества вокруг нас

К этому моменту вы наверняка задумались, зачем надо изучать теорию множеств. Это хороший вопрос, и пришло время ответить на него.

Читайте также  Жанровое своеобразие военных повестей В. Быкова

Уже догадались? Множества повсюду. Это структуры данных, которые мы можем использовать при работе с разными языками программирования, например, Python, Java, Ruby, JavaScript и так далее. Если вы знакомы с этими или другими языками программирования, то уже вспомнили методы, которые позволяют работать с множествами.

Вот пример на JavaScript.

Очевидно, что имена методов могут меняться в зависимости от языка. Например, метод has из примера выше в Ruby называется include?, но эти методы работают практически одинаково. А в Python при работе с множествами можно использовать методы intersection, union и symmetric_difference.

Но в чём именно польза множеств? Понятно, что с ними можно работать в разных языках программирования, но зачем это нужно на практике?

Один из моментов — множества могут сэкономить вам много времени. Помните все эти сложные операции — intersection, union, difference? Уже догадались? Продолжительность выполнения этих операций зависит от размера множеств. Это связано с тем, что для выполнения операций нам надо обойти все элементы множества. Обычно даже гигантские множества можно обойти достаточно быстро.

Но как насчёт основных операций? Как насчёт добавления элементов в одно из множеств, удаления элементов, поиска конкретного элемента в множестве? Все эти операции выполняются за константное время или 0(1). Это очень мощный инструмент, и это значит, что множества могут быть даже более удобной структурой данных, чем словарь или хэш.

Но подождите, почему все операции с множествами выполняются так быстро? Как это возможно? Как оказалось, под капотом множества представляют собой хэши. Теперь вся информация собирается воедино. С хэш-таблицами знакомо большинство программистов, но почему с их помощью так удобно реализовывать множества?

Это возможно благодаря нескольким факторам. Первый: в хэш-таблицах каждый элемент всегда имеет уникальный индекс. Это очень хорошо с точки зрения реализации множеств, так как множества могут включать только уникальные элементы. Второй фактор: в хэш-таблицах порядок элементов не имеет значения. В множествах порядок элементов тоже не имеет значения. Наконец, хэш-таблицы обеспечивют константное время доступа 0(1). Это идеально для выполнения базовых операций с множествами.

Читайте также

Заключение

Теория множеств используется в разных областях computer science. Это важная для программистов концепция, понимание которой помогает разработчикам эффективно работать с данными.

Адаптированный перевод статьи Set Theory: the Method To Database Madness by Vaidehi Joshi.

Никогда не останавливайтесь:

В программировании говорят, что нужно постоянно учиться даже для того, чтобы просто находиться на месте. Развивайтесь с нами — на Хекслете есть сотни курсов по разработке на разных языках и технологиях.

С нуля до разработчика. Возвращаем деньги, если не удалось найти работу.

Множества. Операции над множествами

Объединение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y, т.е. принадлежат X или принадлежат Y.

Объединение X и Y обозначается через X∪Y

Формально x∈X∪Y ⇔ x∈X или x∈Y

Пример 3. Если X — множество точек левого круга и Y — множество точек правого круга, то

X∪Y — заштрихованная область, ограниченная обоими кругами.

Понятие объединения можно распространить и на большее число множеств, на систему множеств. Обозначим через М=1,X2, . Xn> совокупность n множеств X1,X2, . Xn, называемую иногда системой множеств. Объединение этих множеств

представляет собой множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств данной системы М.

Для объединенных множеств справедливы:

  • X∪Y = Y∪X — коммутативный закон
  • (X∪Y)∪Z = X∪(Y∪Z) = X∪Y∪Z — ассоциативный закон,

справедливость которых вытекает из того, что левая и правая части равенств состоят из одних и тех же элементов.

Очевидно, что X∪∅ = X. Отсюда можно видеть, что ∅ играет роль нуля в алгебре множеств.

2. Пересечение множеств

Пересечение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y.

Пересечение множеств обозначается X∩Y.

Формально x∈X∩Y ⇔ x∈X и x∈Y

Пример 5. Если Х — множество точек левого круга, а Y — множество точек правого круга, то X∩Y представляет собой заштрихованную область, являющуюся общей частью обоих кругов.

Множества X и Y называются непересекающимися (дизъюнктными), если они не имеют общих элементов, то есть если X∩Y=∅.

Частный случай: кортеж длины 1 —

кортеж длины 0 — или ∧ — пустой кортеж.

Отличие кортежа и обыкновенного множества: в кортеже могут быть одинаковые элементы.

Упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа, будем называть векторами или точками пространства (n-мерного).

Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядоченное n-элементное множество вещественных чисел (a1, . an) как точку в воображаемом n–мерном пространстве (иногда называемом гиперпространством), или как n-мерный вектор. При этом компоненты n-элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на соответствующие оси.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны.

Компонентами кортежа (вектора) могут быть также компоненты кортежи (векторы):

Пример. Слова в предложении,

Прямое произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству Y.

Пример 2. Пусть X= , Y=

Тогда X*Y= < , , , , , >См. рис. а).

Пример 3. Пусть X и Y — отрезки вещественной оси. Прямое произведение X*Y изображается заштрихованным прямоугольником. См. рис. б).

Прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей т.е.

Прямое произведение множеств X1, X2, . Xn — это множество, обозначаемое X1*X2*. *Xn и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, правая компонента которых принадлежит X1, вторая — X2 и т.д.

Очевидно X*Y = ∅ ⇔ X = ∅ или Y = ∅.

Аналогично X1*X2*. *Xn = ∅ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множеств X1, X2, . Xn является пустым.

Частным случаем прямого произведения является понятие степеней (декартовых) множества — прямое произведение одинаковых множеств

M s =M*M*. *M, M 1 =M, M 0 =∧.

Обычно R — множество вещественных чисел, тогда R 2 =R*R — вещественная плоскость и R 3 =R*R*R — трехмерное вещественное пространство.

Тогда A*B =1, a2, a3, . h7, h8> — множество обозначающее все 64 клеток шахматной доски.

Пример. Пусть A — конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества обычно называют алфавитами. Элементы множества an называются словами длины n в алфавите A. Множество всех символов в алфавите A — это множество A * = ∪A i = A 1 ∪A 2 ∪A 3 . . При написании слов не принято пользоваться ни запятыми, ни скобками, ни разделителями.

Проекция множества.

Операция программирования множества тесно связана с операцией проектирования кортежа и может применяться лишь к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины.

Пусть M — множество, состоящее из кортежей длины S. Тогда пролинией множества M будем называть множество пролиний всех кортежей из М

Очевидно что если М=Х*Y то Пр1М=Х, Пр2М=Y

и если Q⊆Х*Y то Пр1Q⊆Х и Пр2Q⊆Y

Пусть V — множество векторов одинаковой длины S.

В общем случае ПрiV — вовсе не обязательно прямое произведение: оно может быть подмножеством.

Математический портал

Nav view search

Navigation

  • Главная
  • КОНТАКТЫ

Search

  • Вы здесь:
  • Home
  • Математическая логика и теория множеств.
  • Множества, операции над множествами.

Множества, операции над множествами.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Под множеством понимается любая совокупность некоторых объектов. Эти объекты называются элементами множества. Множества обозначают большими буквами, а элементы — маленькими.

То что элемент $a$ принадлежит множеству $A$ (то есть является элементом множества $A$) записывают так $ain A,$ а то что элемент $b$ не принадлежит множеству $A$ (не является его элементом) записывают так $bnotin A.$

Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается символом $emptyset.$

Запись $Asubset B $ ($A$ содержится в $B$) означает, что каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B;$ в этом случае множество $A$ называется подмножеством множества $B.$ Множества $A$ и $B$ называют равными $(A=B),$ если $Asubset B$ и $Bsubset A.$

Существует два основных способа задания (описания) множеств.

а) Множество $A$ определяется непосредственным перечислением всех своих элементов $a_1, a_2, . a_n,$ то есть записывается в виде $$A=.$$

Например множество простых чисел от 10 до 20 можно записать так: $<11, 13, 17, 19>.$

б) Множество $A$ определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества $T,$ которые обладают общим свойством $alpha.$ В этом случае используется обозначение $$A=,$$ где запись $alpha(x)$ означает, что элемент $x$ обладает свойством $alpha.$

Объеденением множеств $A$ и $B$ называется множество $$Acup B=$$

Пересечением множеств и называется множество $$Acap B=$$

Читайте также  Мечта о героическом и прекрасном в раннем творчестве М. Горького

Операции объеденения и пересечения обладают следующими свойствами:

$$Acup B=Bcup A;qquad Acap B=Bcap A;$$

$$Acup(Bcup C)=(Acup B)cup C; (Acap B)cap C=Acap(Bcap C);$$

$$(Acup B)cap C= (Acap C)cup(Bcap C);quad (Acap B)cup C= (Acup C)cap(Bcup C);$$

$$Acup A=A;quad Acap A=A.$$

Множество, стостоящее из всех элементов множества $A,$ не принаждлежащих множеству $B,$ называется разностью множеств $A$ и $B:$ $$Asetminus B=.$$

Если $Asubset B$ , то $Bsetminus A$ называют дополнением множества $A$ до множства $B:,, A_B’.$

Если, в частности, $A -$ подмножество некоторого универсального множества $U,$ то разность $Usetminus A$ обозначается символом $overline A$ или $A’$ и называется дополнением множества $A$ (до множества $U$).

Из определения дополнения множества следуют равенства $$Acup A’ =U;quad Acap A’ =emptyset,quad (A’)’=A.$$

Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называют множество $ADelta B,$ состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат только одному из множеств $A$ или $B,$ то есть $$ADelta B =(Asetminus B)cup (Bsetminus A).$$

Для любых подмножеств $A$ и $B$ множества $U$ справедливы следующие равенства, которые называют законами двойственности или законами де Моргана: $$(Acup B)’=A’cap B’;quad (Acap B)’=A’cup B’.$$

Примеры:

Доказать справдливость равенств

1) $(Acap B)’=A’cup B’$

Доказательство .

$xin(Acap B)’ Leftrightarrow xnotin (Acap B)Leftrightarrow xnotin Avee xnotin B Leftrightarrow $ $xin A’vee xin B’ Leftrightarrow$

$ xin (A’cup B’)Leftrightarrow (Acap B)’= A’cup B’. $

Что и требовалось доказать.

2) $(Asetminus B)setminus C =Asetminus (Bcup C).$

$xin (Asetminus B)setminus C Leftrightarrow ain Asetminus B wedge anotin C Leftrightarrow (ain A wedge anotin B)wedge anotin CLeftrightarrow $

$Leftrightarrow ain A wedge (anotin B wedge anotin C)Leftrightarrow ain A wedge anotin (Bcup C)Leftrightarrow ain Asetminus(Bcup C).$

Что и требовалось доказать.

3) $Asetminus (Asetminus B)=Acap B.$

Доказательство .

$ain Asetminus(Asetminus B)Leftrightarrow (ain A)wedge (anotin Asetminus B)Leftrightarrow $

$(ain A) wedge ((anotin A)vee (ain B))Leftrightarrow $

$((ain A)wedge(anotin A))vee((ain A)wedge(ain B))Leftrightarrow $

$(ain A) wedge (ain B) Leftrightarrow ain Acap B.$

Что и требовалось доказать.

4) $Acup(Bsetminus C)supset (Acup B)setminus C.$

$ain (Acup B)setminus CLeftrightarrow (ain A vee ain B)wedge anotin C Leftrightarrow$

$ (ain A wedge anotin C)vee(ain Bwedge anotin C)Rightarrow (ain A )vee(ain Bwedge anotin C)Leftrightarrow$

$ ain Acup(Bsetminus C).$

Что и требовалось доказать.

1.28. (a)

Установить, какая из двух записей верна:

Решение.

Запись $<1, 2>in<1, 2, <1, 2, 3>>$ означает, что эелемент $<1, 2>$ содержится в множестве, состоящем из трех элементов $<1>,$ $<2>,$ и $<<1, 2, 3>>.$ Очевидно элемента $<1, 2>$ среди данных трех элементов нет. Поэтому такая запись не верна.

Запись $<1, 2>subset<1, 2, <1, 2, 3>>$ означает, что все элементы множества $<1, 2>$ (то есть $<1>,$ и $<2>$ ) содержатся в множестве $<1, 2, <1, 2, 3>>.$ Последнее множество состоит из элементов $<1>,$ $<2>,$ и $<<1, 2, 3>>,$ поэтому данная запись верна.

В задачах 1.29, 1.30 заданные множества задать перечислением всех своих элементов

Решение.

Найдем множество действительных решений уравнения $x^3-3x^2+2x=0:$

Решим квадратное уравнение $x^2-3x+2=0.$

Все корни уравнения действительные, поэтому запишем ответ:

Решение.

Решим неравенство $x+frac<1>leq 2:$

Поскольку $x>0,$ то $x^2+1leq 2x.$ Решим квадратное уравнение

$x^2-2x+1=0Rightarrow (x-1)^2=0Rightarrow x_<1, 2>=1.$

Так как $y=x^2-2x+1$ это парабола, направленная осями вверх, то при всех остальных значениях $x,$ функция будет положительна.

Таким образом решение неравенства $x+frac<1>leq 2$ при условии $x>0:$

Ответ: $<1>.$

Домашнее задание.

1.28 (б)

Установить, какая из двух записей верна:

Ответ: обе записи верны.

В задачах 1.31, 1.32 заданные множества задать перечислением всех своих элементов

Изобразить на координатной плоскости следующие множества:

1.43. Описать перечислением всех элементов множества $Acup B, ,, Acap B, ,, Asetminus B, ,, Bsetminus A.$

В задачах 1.50, 1.53, приняв отрезок за универсальное множество $T=[0, 1]$ найти и изобразить на числовой оси дополнения следующих множеств:

1.55. Доказать, что операции $cup$ и $cap$ связаны законом дистрибутивности:

$$(Acup B)cap C=(Acap C)cup(Bcap C);$$

$$(Acap B)cup C=(Acup C)cap(Bcup C);$$

1.57. $Asetminus B=Acapoverline B.$

1.58. $overline=overline Acup B.$

§ 1. Множества и операции над ними

§1. Множества и операции над ними

Объяснение и обоснование

  1. Понятие множества. Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы — ученики), множестве дней недели (элементы — дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д.

В курсах алгебры и алгебры и начал математического анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество М состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: М = <1; 2; 3>. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества М), записывается с помощью специального значка ∈ следующим образом: 2 ∈ М; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: 5 ∉ М.

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например: множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом ∅, множество всех натуральных чисел — буквой N, множество всех целых чисел — буквой Z, множество всех рациональных чисел — буквой Q, а множество всех действительных чисел — буквой R.

Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества А = <7>и M = <1; 2; 3>— конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества N, Z, Q, R — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило (характеристическое свойство), которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, А = <–1; 0; 1>(множество задано перечислением элементов), B — множество всех четных целых чисел (множество задано характеристическим свойством всех элементов множества). Последнее множество иногда записывают так: B = или так: B = Z> — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое свойство*.

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: A = , где P (x) — характеристическое свойство. Например, = < –1, 1>, R и x2 + 1 = 0> = .

  1. Равенство множеств. Пусть А — множество всех цифр трехзначного числа 312, то есть A = <3; 1; 2>, а B — множество всех натуральных чисел, меньших четырех, то есть B = <1; 2; 3>. Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: A = B. Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, <1; 2; 2>= <1; 2>, поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

  1. Подмножество

Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B.

Это записывают следующим образом: A ⊂ B.

Например, <1; 2>⊂ <0; 1; 2; 3>, N ⊂ Z (поскольку любое натуральное число — целое), Z ⊂ Q (поскольку любое целое число — рациональное), Q ⊂ R (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда ∅ ⊆ A, то есть пустое множество является подмножеством любого множества.

Иногда вместо записи A ⊂ B используется также запись A ⊆ B.

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества А и В равны, то: 1) каждый элемент множества А является элементом множества В, следовательно, А — подмножество В (A ⊆ B); 2) каждый элемент множества В является элементом множества А, следовательно, В — подмножество А (B ⊆ A). Таким образом,

два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого.

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера–Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами N, Z, Q, R.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: