Оптимизационные модели межотраслевого баланса

Математика. Математическое моделирование

Донецкий национальный университет экономики и торговли

имени Михаила Туган-Барановсого, Украина

МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Целью данной работы является рассмотрение проблемы построения и использования оптимизационных моделей межотраслевого баланса. Возможность оптимизации межотраслевого баланса появляется, если коэффициенты прямых затрат отражают затраты не средние по отрасли, а для каждого способа и технологии производства. В таких моделях межотраслевого баланса представлено отдельно производство мартеновской, конверторной стали, а также электростали; синтетических и хлопчатобумажных тканей и т. д. В результате должен быть найден оптимальный вариант с минимальными затратами на производство данного объема продукции.

Общая модель имеет следующий вид:

(1)

В первом варианте модели (минимизация затрат труда на производство заданной конечной продукции): –объем производства продукции j способом _j ; –коэффициент прямых затрат продукции i на производство единицы продукции j способом _j ; –затраты труда на единицу продукции j , производимой способом _j , -число комплектов переменной части конечной продукции, -количество продукции s ₁ в одном комплекте.

В модели предусматривается возможность выбора между различными производственными способами. Пусть каждый вид продукции производится несколькими способами , где T_j = <1. s_j >. При этом каждым способом выпускается только один продукт. Модель имеет вид:

(2)

Второй вариант модели (максимизация конечной продукции в заданном ассортименте при ограниченных трудовых ресурсах) :

(3)

Процесс оптимизационных расчетов и анализа оптимальных решений можно расчленить на три стадии:

· нахождение лучших производственных способов и минимальных затрат труда при заданном векторе конечной продукции на основе модели (2) ;

· определение объемов и структуры переменной части конечной продукции (можно использовать различные критерии и условия максимизации);

· расчет сбалансированного плана производства, обеспечивающего выпуск всей конечной продукции при ограниченных трудовых ресурсах.

При использовании оптимизационных моделей в планировании никогда не ограничиваются расчетом только одного оптимального варианта. Необходимо анализировать, какие изменения произойдут в оптимальном плане, если изменяются некоторые исходные данные. Такой анализ особенно важен потому, что исходная информация для народнохозяйственных моделей не может определяться строго однозначно. Анализ оптимального плана должен показывать пути корректировки и дополнения исходной информации.

Построение оптимизационных моделей межотраслевого баланса позволяет в условиях ограниченности ресурсов находить наиболее эффективные комбинации ресурсов для максимизации конечного продукта. Основное прикладное назначение оптимизационных статических межотраслевых моделей — расчеты и анализ вариантов краткосрочных (годовых) планов развития народного хозяйства. Но значение исследо ваний статических моделей этим не ограничивается. Статические модели для отдельных временных отрезков являются составными частями моделей, объединяющих условия развития народного хозяйства за ряд лет. Поэтому построение и анализ статических моделей — это неизбеж ный этап разработки и освоения более сложных динамических моделей народного хозяйства.

1. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. — М.: Наука, 1986.

2. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. — М.: Наука, 1983.

3. А.Г.Гранберг. Математические модели в социалистической экономике. — М.: Экономика, 1988.

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Общая линейная оптимизационная модель построена на основе матрицы таких производственных способов, что каждый из них может выпускать несколько видов продукции, каждый вид продукции может выпускаться несколькими способами.

Далее мы рассмотрим более частные оптимизационные модели, сохраняющие некоторые специфические допущения модели межотраслевого баланса: сначала – модели, в которых каждый способ выпускает только один продукт и каждый продукт выпускается только одним способом, а затем – модели, в которых сохраняется только первое из указанных допущений. Такая последовательность анализа моделей выбрана для того, чтобы «перекинуть мост» между моделями межотраслевого баланса и оптимизационными моделями народного хозяйства и проследить изменение свойств решений (сбалансированных и оптимальных) при изменении предпосылок модели и включении в нее новых условий.

Модель межотраслевого баланса как частный случай оптимизационных моделей

Оптимизационные модели по сравнению с балансовыми представляют собой более совершенный тип моделей социалистической экономики. Однако было бы неправильно противопоставлять их друг другу. Во-первых, основные условия балансовых моделей обязательно включаются в оптимизационные модели. Во-вторых, балансовые модели могут интерпретироваться и исследоваться как частный случай оптимизационных моделей.

Попытаемся сформулировать модель межотраслевого баланса на языке оптимизационных задач. Рассмотрим систему уравнений межотраслевого баланса производства и распределения продукции совместно с ограничением по трудовым ресурсам производственной сферы:

(21)

Основная задача плановых расчетов с помощью этой модели состоит в том, чтобы при заданном векторе Y 0 = ( ) и имеющихся трудовых ресурсах L найти вектор необходимых объемов производства X = (x_j). Покажем, что эту задачу можно представить в виде задачи линейного программирования:

(22)

Эта задача отличается от (21) только тем, что допускается получение конечной продукции сверх заданных минимальных объемов, а затраты трудовых ресурсов минимизируются. Очевидно, что реальным экономическим условиям отвечают только такие решения X* = (x *), при которых .

Задаче (22) соответствует двойственная задача, с помощью которой находятся оптимальные оценки продукции :

(23)

Оптимальный план X * задачи (22) характеризуется следующими свойствами:

· если Y 0 > 0 (или Y 0 ≥ 0 и А – неразложимая матрица), то Х* > 0;

· балансы производства и распределения продукции выполняются строго как равенства, т. е. излишки конечной продукции не производятся;

· оптимальный план X * не зависит от коэффициентов целевой функции t_J ≥ 0.

На рис. 1 видно, что оптимальный план всегда является вершиной «клюва» при любых допустимых наклонах целевой функции. Обе задачи (и прямая, и двойственная) всегда имеют единственное решение, если матрица А продуктивна и Y 0 ≥ 0. При этом решение прямой оптимизационной задачи сводится к решению системы уравнений и поэтому оно не зависит от значений коэффициентов минимизируемой функции. Решение двойственной задачи находится из системы уравнений ипоэтому оно не зависит от коэффициентов минимизируемой функции. При этом оптимальные оценки продукции равны коэффициентам полных трудовых затрат.

Равенство функционалов прямой и двойственной задачи имеет место при любых положительных значениях t_j и . Оно означает, что суммарная оценка всей конечной продукции равна сумме трудовых затрат в народном хозяйстве.

Оптимизационные модели межотраслевого баланса

Содержание:
Содержание
Введение
§ 1. ОБЩАЯ ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ
Построение модели.
Оптимальные оценки и анализ оптимального плана.
Влияние изменения ограничений.
Включение в оптимальный план дополнительных производственных способов.
§ 2. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
Модель межотраслевого баланса какчастный случай оптимизационных моделей.
График оптимизационной модели.
Оптимизационная модель межотраслевого баланса продукции и производственных мощностей.
§ 3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ С ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ СПОСОБАМИ
Теорема 1. При положительном векторе конечной продукции Y0 > 0 производятся все продукты и каждый продукт производится толькоодним способом.
Теорема 2. Базис оптимального плана, а следовательно, и выбор «лучших» способов остаются постоянными при любых изменениях положительного вектора Y0.
Второй вариант модели (максимизация конечной продукции в заданном ассортименте при ограниченных трудовых ресурсах).
Варианты модели с различными условиями максимизации конечной продукции.
§ 4.РАСШИРЕННЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ
Вывод
Введение:
В данном реферате рассмотрены проблемы построения и использования оптимизационных моделей межотраслевого баланса.
Анализировавшиеся в данном реферате оптимизационные межотраслевые модели характеризуются двумя специфическими свойствами. Во-первых, в оптимальный план включается только поодному способу для каждого производимого вида продукции независимо от того, какое количество способов вводится в условия задачи. Во-вторых, объемы и структура используемой конечной продукции не оказывают никакого влияния на выбор производственных способов и определение общественно необходимых затрат на производство продукции.
Хотя выявленные свойства создаютзначительные удобства при проведении оптимизационных расчетов и анализе оптимальных решений, они не являются адекватным отражением свойств реальной экономики. Данные свойства моделей обусловлены тем, что выбор производственных способов осуществляется с позиций наиболее эффективного использования только одного ограниченного ресурса – труда. Решения, получаемыес помощью рассматриваемых моделей, должны интерпретироваться как условно-оптимальные, т. е. получаемые в предположении, что трудовые ресурсы являются единственным дефицитным ресурсом в народном хозяйстве. Эти условно-оптимальные решения должны затем корректироваться с учетом использования других ограниченных ресурсов.
§1. ОБЩАЯ ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИОННАЯМОДЕЛЬ
Линейная оптимизационная модель общего вида впервые была сформулирована и исследована Л. В. Канторовичем. Она получила название основной задачи производственного планирования. Данная модель является частным случаем абстрактной модели оптимального планирования народного хозяйства, в которой целевая функция и все ограничения являются линейными..ывод:кние:ложнение модели (9.____________________________________________________________

____________________________________Построение модели.
В народном хозяйстве имеется множество производственных способов ψ Î N; xψ — интенсивность применения способа ψ; А = (аsψ) — вектор производственного способа ψ, компоненты которого означают выпуск продукции и затраты ресурсовпри единичной интенсивности его применения. Все множество ингредиентов s Î М разбивается на два подмножества:
продукты и воспроизводимые ресурсы (продукты для промежуточного и конечного использования) s1 Î М1;
невоспроизводимые ресурсы s2 Î М2;
Основные ограничения линейной модели производства необходимо конкретизировать лишь в.

Чтобы читать весь документ, зарегистрируйся.

Связанные рефераты

МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

. структура межотраслевого баланса 2. Статическая межотраслевая.

Модели межотраслевого баланса

. ВВЕДЕНИЕ 1. МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС КАК ВИД ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ.

20 Стр. 41 Просмотры

модели межотраслевого баланса

. бизнес-информатики Тема курсовой работы: Модели межотраслевого.

Модель межотраслевого баланса

. дисциплине: «Экономическая теория» Тема: «Модель межотраслевого.

7 Стр. 2 Просмотры

Модели межотраслевого баланса

. 3 1 Межотраслевой баланс как вид экономико-математических.

Реферат: Оптимизационные модели межотраслевого баланса

§ 1. ОБЩАЯ ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ.. 4

Построение модели. 4

Оптимальные оценки и анализ оптимального плана. 6

Влияние изменения ограничений. 8

Включение в оптимальный план дополнительных производственных способов. 12

§ 2. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА.. 14

Модель межотраслевого баланса как частный случай оптимизационных моделей. 14

График оптимизационной модели. 16

Оптимизационная модель межотраслевого баланса продукции и производственных мощностей. 17

§ 3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ С ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ СПОСОБАМИ.. 24

Теорема 1. При положительном векторе конечной продукции Y 0 > 0 производятся все продукты и каждый продукт производится только одним способом. 25

Теорема 2. Базис оптимального плана, а следовательно, и выбор «лучших» способов остаются постоянными при любых изменениях положительного вектора Y 0 . 27

Второй вариант модели (максимизация конечной продукции в заданном ассортименте при ограниченных трудовых ресурсах). 29

Варианты модели с различными условиями максимизации конечной продукции. 31

§ 4. РАСШИРЕННЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ.. 34

В данном реферате рассмотрены проблемы построения и использования оптимизационных моделей межотраслевого баланса.

Анализировавшиеся в данном реферате оптимизационные межотраслевые модели характеризуются двумя специфическими свойствами. Во-первых, в оптимальный план включается только по одному способу для каждого производимого вида продукции независимо от того, какое количество способов вводится в условия задачи. Во-вторых, объемы и структура используемой конечной продукции не оказывают никакого влияния на выбор производственных способов и определение общественно необходимых затрат на производство продукции.

Хотя выявленные свойства создают значительные удобства при проведении оптимизационных расчетов и анализе оптимальных решений, они не являются адекватным отражением свойств реальной экономики. Данные свойства моделей обусловлены тем, что выбор производственных способов осуществляется с позиций наиболее эффективного использования только одного ограниченного ресурса – труда. Решения, получаемые с помощью рассматриваемых моделей, должны интерпретироваться как условно-оптимальные, т. е. получаемые в предположении, что трудовые ресурсы являются единственным дефицитным ресурсом в народном хозяйстве. Эти условно-оптимальные решения должны затем корректироваться с учетом использования других ограниченных ресурсов.

§1. ОБЩАЯ ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ

Линейная оптимизационная модель общего вида впервые была сформулирована и исследована Л. В. Канторовичем. Она получила название основной задачи производственного планирования. Данная модель является частным случаем абстрактной модели оптимального планирования народного хозяйства, в которой целевая функция и все ограничения являются линейными.

.ывод:кние:ложнение модели (9.________________________________________________________________________________________________ Построение модели.

В народном хозяйстве имеется множество производственных способов ψ Î N ; x _ψ — интенсивность применения способа ψ ; А = (а _s _ψ ) — вектор производственного способа ψ , компоненты которого означают выпуск продукции и затраты ресурсов при единичной интенсивности его применения. Все множество ингредиентов s Î М разбивается на два подмножества:

· продукты и воспроизводимые ресурсы (продукты для промежуточного и конечного использования) s ₁ Î М ₁ ;

· невоспроизводимые ресурсы s ₂ Î М ₂ ;

—>ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ «

Научная электронная библиотека

Громова Н. М., Громова Н. И.,

3.2 Модель динамического межотраслевого баланса

Межотраслевой баланс (МОБ) — это основополагающая модель экономики, в которой показывается многообразные натуральные и стоимостные связи в экономике страны. Она позволяет определить показатели производства и распределения продукции в народном хозяйстве для ряда лет планового периода с учетом взаимосвязей производств, капитальных вложений, трудовых ресурсов и объемов продукции по отраслям. До недавнего времени формировалось два вида МОБ: в стоимостном и натуральном выражениях. Номенклатура межотраслевого баланса в стоимостном выражении по стране в целом насчитывает примерно 120 отраслевых позиций, охватывающих всю сферу материального производства. В натуральных МОБ учитываются не все, а важнейшие продукты, представляющие примерно 80% всего валового национального продукта. В этом балансе отражается около 600 важнейших наименований продукции.

МОБ содержит также данные о распределении продукции по элементам конечного потребления (товарооборот, производственные и непроизводственные капитальные вложения, экспорт, импорт и т.д.), о национальном доходе.

Модель натурально-стоимостного баланса, являлась дальнейшим развитием известной схемы МОБ, содержит комплексную характеристику народного хозяйства. Исходными данными для расчета сбалансированного плана по модели натурально-стоимостного межотраслевого баланса являются показатели объема и структуры национального дохода, экспорта, импорта и капитального ремонта.

По модели межотраслевого баланса выполняются два типа расчетов: первый тип, когда по заданному уровню конечного потребления рассчитывается сбалансированный план производства и распределения продукции, и второй тип, включающий смешанные расчеты, когда по заданным объемам производства по одним отраслям (продуктам) и заданному конечному потреблению в других отраслях рассчитывается баланс производства и распределения продукции в полном объеме.

Первый тип расчетов выполняется в основном на предварительной стадии составления плана; второй применяется для корректировки планов и внесения уточнений по объемам производства той или иной продукции.

В экономике широко используется наиболее распространенная экономико-математическая модель — матричная. Она представляет собой прямоугольную таблицу (матрицу), элементы которой отражают связи экономических объектов. Количественные значения этих объектов вычисляются по установленным в теории матриц правилам. В матричной модели отражается структура затрат на производство, распределение продукции и вновь созданной стоимости. Матричные модели применяются в межотраслевом балансе, при составлении техпромфинплана предприятий, объединений, организации нормативного хозяйства и внутрипроизводственного хозрасчета, а также для экономического анализа. Матричную модель можно представить в виде табл. 3.1.

Уравнение строк матрицы записывается следующим образом:

, (i=1,2,…, m),(3.7)

где х_ij — поставка продукции подразделения (отрасли) — i в подразделение (отрасль) j;

У_i — конечная продукция подразделения (отрасли) i;

X_i — валовая продукция подразделения (отрасли) i.

Элементы строки представляют собой балансы распределения продукции, произведенной в различных производственных подразделениях (например, в цехах предприятия), экономических объектах (предприятиях, объединениях) или отраслях народного хозяйства. Сумма внутрипроизводственных поставок и конечного продукта составляет валовой выпуск подразделения (отрасли). Уравнения столбцов матрицы выглядят следующим образом:

, (i=1,2,…, m), (3.8)

Таблица 3.1 Схема матричной модели

где x_ij — затраты продукции подразделения (отрасли) i на производство продукции подразделения (отрасли) j;

Z_j — затраты первичных ресурсов и вновь созданная стоимость в подразделении (отрасли) j;

Х_j — валовые затраты (включая вновь созданную стоимость) в подразделении (отрасли) j .

Х_i=X_j при i=j; при этом в равенстве итогов одноименных строк и столбцов находит выражение закон стоимости: стоимость распределенных и накопленных материальных благ и услуг равна сумме стоимости производственных затрат и вновь созданной стоимости. Из этого равенства вытекает целый ряд других производных уравнений, которые делают матричную модель удобным расчетным плановым и аналитическим инструментом.

Каждый показатель матричной модели имеет двойное значение с одной стороны, он выражает объем поставок одного производственного подразделения (отрасли) в другое подразделение, с другой — объем производственного потребления продукции одного подразделения другим. Следовательно, I квадрант матричной модели отражает внутрипроизводственные связи моделируемой экономической системы.

Наиболее явное количественное выражение производственная структура получает в коэффициентах прямых затрат a_ij, представляющих собой частное от деления объемов затрат продукции подразделения-поставщика x_ij на объем продукции подразделения X_j, т.е.

, (3.9)

При этом I квадрант матричной модели приобретает смысл таблицы нормативов прямых затрат, рассчитанных на единицу выпуска каждого вида продукции. В целом квадратную матрицу коэффициентов прямых затрат А можно представить следующим образом:

(3.10)

В результате обращения квадратной матрицы коэффициентов прямых затрат I квадранта получают матрицу коэффициентов полных затрат (В), выражающих совокупность прямых и косвенных затрат в расчете на единицу конечной продукции В=(Е-А) -1 , где Е – единичная матрица.

Во II квадранте отражаются результаты производственной и хозяйственной деятельности (конечная продукция); он рассматривается как выход модели. В III квадранте отражаются затраты первичных ресурсов, поступающих в систему извне, и вновь созданная стоимость (чистая продукция); он рассматривается в качестве входа модели. В IV квадранте отражаются процессы передачи материальных ресурсов и перераспределения стоимости: ресурсы, поступившие на вход данной экономической системы, используются в качестве конечных продуктов на выходе, минуя производственные подразделения.

Оптимизационные модели межотраслевого баланса (стр. 1 из 6)

В народном хозяйстве имеется множество производственных способов ψ Î N; x_ψ — интенсивность применения способа ψ; А = (а_s_ψ) — вектор производственного способа ψ, компоненты которого означают выпуск продукции и затраты ресурсов при единичной интенсивности его применения. Все множество ингредиентов s Î М разбивается на два подмножества:

· продукты и воспроизводимые ресурсы (продукты для промежуточного и конечного использования) s₁Î М₁;

· невоспроизводимые ресурсы s₂Î М₂;

Основные ограничения линейной модели производства необходимо конкретизировать лишь в отношении структуры конечной продукции.

В составе конечной продукции выделим постоянную и переменную части:

Общая модель имеет следующий вид:

Условия (1) из модели (1) означают балансы производства и распределения продукции, условия (2) — балансы невоспроизводимых ресурсов.

Для того чтобы задача (1) имела решение, необходимо, чтобы, во-первых, матрица выпуска и материальных затрат производственных способов

Важной качественной характеристикой оптимального плана модели (1) является число применяемых производственных способов (переменных

Из теории линейного программирования известно, что оптимальный план задачи в случае его единственности и невырожденности содержит столько положительных основных и дополнительных (приводящих неравенства к равенствам) переменных, сколько имеется ограничений. При этом число положительных основных переменных равно числу ограничений, которые в оптимальном плане обращаются в равенства.

Единственность и невырожденность оптимального плана можно рассматривать как типичное свойство модели (1). Очевидно также, можно принять допущение, что в оптимальный план включается переменная

Модели (1) соответствуют оптимальные оценки всех видов продукции

Соотношения, определяющие значения оптимальных оценок, выводятся из условий двойственной задачи.

Все оценки неотрицательны. При этом оценки хотя бы одного вида продукции и хотя бы одного вида ресурсов должны быть положительны (в противном случае план, относительно которого рассчитаны оценки, может быть улучшен).

Для каждого производственного способа выполняются соотношения

означающие, что суммарная оценка выпускаемой продукции не превышает суммарной оценки всех затрачиваемых ресурсов.

Из условий дополняющей нежесткости следует: