Перевод мер угла в градусной часовой системе - ABCD42.RU

Перевод мер угла в градусной часовой системе

Перевод мер угла в градусной часовой системе (стр. 1 из 2)

Перевод мер угла в градусной системе

Классическая запись меры угла в градусной системе выглядит следующим образом:

Эта запись обозначает, что мера угла содержит А градусов, В минут и С секунд.

Но иногда необходимо выразить меру угла только в секундах или только в градусах. Возможна и другая ситуация, когда мера угла задано либо в градусах, либо в секундах, а нам необходимо записать эту меру в классической форме. Далее мы покажем, как это делается.

Перевод меры угла из классического вида в секунды

Для того, чтобы перевести меру угла, записанного в классическом виде, в секундный необходимо:

· Количество градусов А умножить на 3600,

· Количество минут В’ умножить на 60,

· К количеству секунд С» прибавить ранее вычисленные значения.

В общем виде наши операции запишутся как:

Перевод меры угла из секундного вида в классический вид

Для перевода меры угла из секунд в классический вид, потребуется более сложный метод. Алгоритм (правила) перевода следующий:

Заданное число секунд S» делится на 3600 до целого числа. Этим самым мы вычисляем число градусов в мере угла S» / 3600 = A (до целого)

2. Умножаем полученное число градусов А на 3600 А1 = А * 3600

3. Из числа секунд S» вычитаем полученный результат умножения А1

4. Полученную разность S1″ делим на 60 до целого, тем самым получаем число минут B’ в мере угла B’ = S1″ / 60 (до целого).

5. Умножаем полученное число минут В’ на 60 В1″ = В’ * 60

6. Вычитаем из числа S1″ число B1″ , и тем самым получаем число секунд С» в мере угла C» = S1″ — B1″

7. Записываем меру угла в классическом виде

Задана мера угла, равная 19936. Привести ее к классическому виду.

В классическом виде мера угла запишется как :

Перевод меры угла из классического вида в десятичный

Для перевода меры угла из классического вида в десятичный, проделаем следующие операции. Следует, однако, помнить, что при переводе меры угла в десятичный вид точность вычислений должна быть равна

1. Отделим градусную часть меры угла (А) от минутной (B’) и секундной (C»).

2. Преобразуем минутную часть меры угла (B’) в секунды, для чего умножим ее на 60.

3. Сложим секундную часть меры угла (C») с полученным произведением.

4. Разделим полученную сумму на 3600, тем самым получаем десятичную часть меры угла.

5. Объединяем градусную часть меры угла и десятичную, отделив их запятой.

Мера угла представлена в классическом виде как

1. Отделим градусную часть меры угла А = 5;

4 Преобразуем минутную часть меры угла в секунды S1 = (B’) * 60 = 32 * 60 = 1920

3. Сложим полученный результат с секундной частью S2 = (C») + S1 = 16 + 1920 = 1932.

4. Разделим полученный результат на 3600 D = S2 / 3600 = 1932 / 3600 = 0,53666667

5. Объединим между собой градусную часть меры угла и частное от деления.

Перевод меры угла из десятичного вида в классический вид

В десятичном виде меру угла можно записать следующим образом:

A,aaaaaaaa Где

А – целая часть меры угла

аааааааа – дробная часть меры угла.

Для перевода меры угла из десятичного представления в классическое представление мы поступаем следующим образом:

1. Отделяем целую и дробную части меры угла. После этого у нас получится два числа:

А – количество градусов в мере угла;

0,аааааааа – дробная часть числа.

2. Умножим получившуюся дробную часть на 60

· Из получившегося числа отделим друг от друга целую и дробную части. После этого у нас получится два числа:

В (целая часть числа) представляет собой количество минут в мере угла

3. Умножим получившуюся дробную часть на 60

Получившееся число представляет собой количество секунд в мере угла

4 Объединив градусную, минутную и секундную части, мы получим классический вид записи меры угла.

Мера угла представлена в десятичном виде как

1. Число градусов

2. Составим дробь следующего вида

3. Умножим эту дробь на 60

4. Число минут в мере угла

5. Составим дробь следующего вида

6. Умножив эту дробь на 60, получим число секунд

7. Объединив градусную, минутную и секундную части, мы получим классический вид записи меры угла.

Перевод мер угла в часовой системе

Классическая запись меры угла в часовой системе выглядит следующим образом:

Эта запись обозначает, что мера угла содержит А часов, В минут и С секунд.

Но иногда необходимо выразить меру угла только в секундах или только в часах. Возможна и другая ситуация, когда мера угла задано либо в часах, либо в секундах, а нам необходимо записать эту меру в классической форме. Далее мы покажем, как это делается.

Перевод меры угла из классического вида в секунды

Для того, чтобы перевести меру угла, записанного в классическом виде, в секундный необходимо:

· Количество часов А(h) умножить на 3600,

· Количество минут В(m) умножить на 60,

· К количеству секунд С(s) прибавить ранее вычисленные значения.

В общем виде наши операции запишутся как:

Перевод меры угла из секундного вида в классический вид

Для перевода меры угла из секунд в классический вид, потребуется более сложный метод. Алгоритм (правила) перевода следующий:

Заданное число секунд S делится на 3600 до целого числа. Этим самым мы вычисляем количество часов в мере угла S / 3600 = A(h) (до целого)

2. Умножаем полученное число часов А(h) на 3600 А1 = А(h) * 3600

3. Из числа секунд S вычитаем полученный результат умножения А1 S1 = S — A1

4. Полученную разность S1 делим на 60 до целого, тем самым получаем число минут B(m) в мере угла B(m) = S1 / 60 (до целого).

5. Умножаем полученное число минут В(m) на 60 В1 = В(m) * 60

6. Вычитаем из числа S1 число B1 , и тем самым получаем число секунд С(s) в мере угла C(s) = S1 — B1

8. Записываем меру угла в классическом виде

Задана мера угла, равная 19936. Привести ее к классическому виду.

В классическом виде мера угла запишется как :

Перевод меры угла из классического вида в десятичный

Для перевода меры угла из классического вида в десятичный, проделаем следующие операции. Следует, однако, помнить, что при переводе меры угла в десятичный вид точность вычислений должна быть равна

6. Отделим часовую часть меры угла (А(h)) от минутной (B(m)) и секундной (C(s)).

7. Преобразуем минутную часть меры угла (B(m)) в секунды, для чего умножим ее на 60.

8. Сложим секундную часть меры угла (C(s)) с полученным произведением.

9. Разделим полученную сумму на 3600, тем самым получаем десятичную часть меры угла.

10. Объединяем часовую часть меры угла и десятичную, отделив их запятой.

Мера угла представлена в классическом виде как

2. Отделим часовую часть меры угла А(h) = 5;

Как выразить часы в градусной мере?

Для перехода от значения угла, выраженного в десятичных долях часа или в десятичных долях градуса, нужно просто разделить или умножить ее на 15. Например, если прямое восхождение в часовой мере α=9 ч 36 мин 10,2 с, то в градусной α= 144°02’33».

Как выразить время в градусной меры?

Часовая мера угла составляет 22(h) 35(m) 55,85(s). Определить градусную меру угла.

Математические основы астрономии. Система отсчета. Перевод мер угла из часовой системы в градусную

Часовая система Градусная система
1 час (1h) 15 градусов
1 минута (1m) 15 минут (15′)
1 секунда (1s) 15 секунд (15″)

Как перевести в градусную меру?

Перевод радиан в градусы

Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить угол в радианах на 180 и разделить на π.

Как выразить градусы в часах?

Если вы имеете ввиду угол поворота стрелок на часах, то так: За 1 час часовая стрелка поворачивается на 360/12 = 30 градусов. Минутная стрелка за 1 час делает полный круг, то есть 360 градусов. За 1 минуту минутная стрелка поворачивается на 360/60 = 6 градусов.

Читайте также  Профилактика заболеваний, передающихся половым путем (ЗППП)

Сколько минут и секунд в одном градусе?

Минуты и секунды По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (от лат. minutus — маленький, мелкий; обозначается штрихом x′), а минуту — на 60 секунд (от лат. secunda divisio — второе деление; обозначается двумя штрихами y″.

Как перевести градусы минуты секунды в число?

Формула перевода проста — градусы * Пи/180. Если градусы указываются в форме «градусы минуты секунды», то сначала их надо перевести в десятичную форму, примерно так — «градусы + (минуты + секунды/60)/60».

Что такое градусная и часовая мера угла?

Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части — минута и секунда — укладываются в данном угле, то есть градусная мера — величина, отражающая количество градусов, минут и секунд между сторонами угла.

Как перейти из Радианной меры в градусную?

Формулы перевода радианов в градусы и наоборот

Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи. 1 рад=(180π)° 1 р а д = 180 π ° — градусная мера угла в 1 радиан равна 180/π . Также можно выразить один градус в радианах.

Сколько рад в пи?

180 градусов – Пи радиан, 90 градусов – это Пи/2 радиан.

Как считать градусы и минуты?

Один оборот равен 360°. По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (от лат. minutus — маленький, мелкий; обозначается знаком ′), а минуту — на 60 секунд (от лат. secunda divisio — второе деление; обозначается знаком ″).

Сколько градусов в одном часе?

360 полный оборот Земли, а если разделить на 24, то получится, что каждый часовой пояс занимает 15 угловых градусов. получаеися, что 15.

Чему равен час в градусах?

А дальше все просто такая же пропорция: Час(в виде долей часа) относится пройденному углу как 12 часов ( за 12 часов ведь часовая стрелка опишет весь циферблат) к 360 градусам.

Сколько часов в одном градусе?

В одном градусе 60 угловых минут.

Как перевести градусы в метры?

Чтобы переводить градусы в метры, разницу долгот нужно хотя бы помножить на косинус широты, для приличия.

Чему равен 1 секунда?

Секунда — время, равное 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.

Чем измеряют градусы в геометрии?

Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу, называется градусной мерой угла. Для измерения углов используют транспортир.

Конвертер величин

  • x
  • TranslatorsCafe.com
  • Онлайн-конвертеры единиц измерения
  • Популярные
  • Механика
  • Теплота
  • Жидкости
  • Звук
  • Свет
  • Электротехника
  • Магнетизм
  • Радиация
  • Другие
  • Калькуляторы
  • Russian (Russia)

Перевести единицы: градус [°] в минута [‘]

Интересные факты о площади

Подробнее об углах

Общие сведения

Плоский угол — геометрическая фигура образованная двумя пересекающимися линиями. Плоский угол состоит из двух лучей с общим началом, и эта точка называется вершиной луча. Лучи называются сторонами угла. У углов много интересных свойств, например, сумма всех углов в параллелограмме — 360°, а в треугольнике — 180°.

Виды углов

Прямые углы равны 90°, острые — меньше 90°, а тупые — наоборот, больше 90°. Углы, равные 180° называются развернутыми, углы в 360° называются полными, а углы больше развернутых но меньше полных называются невыпуклыми. Когда сумма двух углов равна 90°, то есть один угол дополняет другой до 90°, они называются дополнительными. Если они дополняют друг друга до 180°, они называются смежными, а если же до 360° — то сопряженными. В многоугольниках углы внутри многоугольника называются внутренними, а сопряженные с ними — внешними.

Когда сумма двух углов равна 90°, то есть один угол дополняет другой до 90°, они называются дополнительными. Если они дополняют друг друга до 180°, они называются смежными, а если же до 360° — то сопряженными. В многоугольниках углы внутри многоугольника называются внутренними, а сопряженные с ними — внешними.

Два угла, образованные при пересечении двух прямых и не являющихся смежными, называются вертикальными. Они равны.

Измерение углов

Углы измеряют с помощью транспортира или вычисляют по формуле, измерив стороны угла от вершины и до дуги, и длину дуги, которая эти стороны ограничивает. Углы обычно измеряют в радианах и градусах, хотя существуют и другие единицы.

Можно измерять как углы, образованные между двумя прямыми, так и между кривыми линиями. Для измерения между кривыми используют касательные в точке пересечения кривых, то есть в вершине угла.

Транспортир

Транспортир — инструмент для измерения углов. Большинство транспортиров имеют форму полукруга или окружности и позволяют измерить углы до 180° и до 360° соответственно. В некоторых транспортирах встроена дополнительная вращающаяся линейка для удобства в измерении. Шкалы на транспортирах наносят чаще в градусах, хотя иногда они бывают и в радианах. Транспортиры чаще всего используют в школе на уроках геометрии, но их также применяют в архитектуре и в технике, в частности в инструментальном производстве.

Использование углов в архитектуре и искусстве

Художники, дизайнеры, мастера и архитекторы издавна используют углы для создания иллюзий, акцентов и других эффектов. Чередование острых и тупых углов или геометрические узоры из острых углов часто используются в архитектуре, мозаике и витражах, например в строении готических соборов и в исламской мозаике.

Одна из известных форм исламского изобразительного искусства — украшение с помощью геометрического орнамента гирих. Этот рисунок применяют в мозаике, резьбе по металлу и дереву, на бумаге и на ткани. Рисунок создается с помощью чередования геометрических фигур. Традиционно используют пять фигур со строго определенными углами из комбинаций в 72°, 108°, 144° и 216°. Все эти углы делятся на 36°. Каждая фигура разделена линиями на несколько более маленьких симметричных фигур, чтобы создать более тонкий рисунок. Изначально гирихом назывались сами эти фигуры или кусочки для мозаики, отсюда и пошло название всего стиля. В Марокко существует похожий геометрический стиль мозаики, зулляйдж или зилидж. Форма терракотовых изразцов, из которых складывают эту мозаику, не соблюдается так строго, как в гирихе, и изразцы часто более причудливой формы, чем строгие геометрические фигуры в гирихе. Несмотря на это, мастера зулляйджа также используют углы для создания контрастных и причудливых узоров.

В исламском изобразительном искусстве и архитектуре часто используется руб аль-хизб — символ в форме одного квадрата, наложенного на другой под углом в 45°, как на иллюстрациях. Он может быть изображен как сплошная фигура, или в виде линий — в этом случае этот символ называется звездой Al-Quds (аль кудс). Руб аль-хизб иногда украшают небольшими кругами на пересечении квадратов. Этот символ используют в гербах и на флагах мусульманских стран, например на гербе Узбекистана и на флаге Азербайджана. Основания самых высоких в мире на момент написания (весна 2013) башен близнецов, башен Петро́нас построены в форме руб аль-хизба. Эти башни находятся в Куала-Лумпуре в Малайзии и в их проектировании участвовал премьер-министр страны.

Острые углы часто используют в архитектуре как декоративные элементы. Они придают зданию строгую элегантность. Тупые углы, наоборот, придают зданиям уютный вид. Так, например, мы восхищаемся готическими соборами и замками, но они выглядят немного печально и даже устрашающе. А вот дом себе мы скорее всего выберем с крышей с тупыми углами между скатами. Углы в архитектуре также используют для укрепления разных частей здания. Архитекторы проектируют форму, размер и угол наклона в зависимости от нагрузки на стены, нуждающиеся в укреплении. Этот принцип укрепления с помощью наклона использовали еще с древних времен. Например, античные строители научились строить арки без цемента и иных связующих материалов, укладывая камни под определенным углом.

Обычно здания строят вертикально, но иногда бывают исключения. Некоторые здания специально строят с наклоном, а некоторые наклоняются из-за ошибок. Один из примеров наклонных зданий — Тадж-Махал в Индии. Четыре минарета, которые окружают главное строение, построены с наклоном от центра, чтобы в случае землетрясения они упали не вовнутрь, на мавзолей, а в другую сторону, и не повредили основное здание. Иногда здания строят под углом к земле в декоративных целях. Например, Падающая башня Абу-Даби или Capital Gate наклонена на 18° к западу. А одно из зданий в Мире Головоломок Стюарта Лэндсборо в городе Ванка в Новой Зеландии наклоняется к земле на 53°. Это здание так и называется, «Падающая башня».

Читайте также  Преступления против общественного порядка

Иногда наклон здания — результат ошибки в проектировании, как например наклон Пизанской башни. Строители не учли структуру и качество почвы, на которой ее возводили. Башня должна была стоять прямо, но плохой фундамент не смог поддерживать ее вес и здание осело, покосившись на один бок. Башню много раз реставрировали; самая последняя реставрация в 20-м веке остановила ее постепенное оседание и увеличивающийся наклон. Ее удалось выровнять с 5.5°до 4°. Башня церкви СуурХусен в Германии тоже наклонена из-за того, что ее деревянный фундамент прогнил с одной стороны после осушения болотистой почвы, на которой она построена. На данный момент эта башня наклонена больше, чем Пизанская — примерно на 5°.

Радианная и градусная мера угла

В школьном курсе математики есть два определения основных тригонометрических функций — синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

  1. — основан на сторонах прямоугольного треугольника и их соотношениях. В этом случае все синусы и косинусы положительны, поскольку длина отрезка всегда задается положительным числом;
  2. — работа ведется на тригонометрической окружности. Такой подход возникает на стыке 9—10 классов, и с этого момента синусы и косинусы вполне могут быть отрицательными. А «старые» геометрические определения становятся лишь частным случаем.

Для решения задачи B11 нужен именно алгебраический подход. Чуть позже мы убедимся, что такие задачи решаются элементарно — буквально с помощью одной формулы. Но для начала научимся быстро (буквально на лету) определять координатную четверть, в которой расположен искомый угол. В этом нам помогут следующие правила.

Переход от радианной меры к градусной

Вспомните: в 8—9 классах мы работали лишь с несколькими стандартными углами. А именно: 30°, 45° и 60°. В особо продвинутых случаях учителя рассказывали еще об углах 90° и 0°. Любые другие значения назывались «сложными», и возникновение таких углов, скорее всего, указывало на ошибку в решении.

С введением тригонометрической окружности все ограничения на углы отпадают. Здесь я не буду рассказывать, как устроена тригонометрическая окружность — все это подробно описано в любом учебнике по математике. Вместо этого предлагаю обсудить другой вопрос — более важный, но которому почему-то не уделяется достаточно внимания. Речь идет о переходе от радианной меры угла к градусной.

Исторически так сложилось (и небезосновательно), что углы на тригонометрической окружности измеряют в радианах. Например, полный оборот — 360° — обозначается А всеми любимый (или ненавидимый) угол 45° равен

У многих возникает вопрос: при чем здесь Так вот, чтобы избежать путаницы, запомните простое, но очень важное правило:

Во всех тригонометрических функциях — синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе — можно без ущерба для здоровья заменять на 180°. Пишется это так:

Обратите внимание: данное правило работает только для тригонометрических функций! Например, мы спокойно можем записать Но если мы хотим найти примерную длину придется считать:

Разумеется, существует и обратное правило — переход от градусной меры угла к радианной. Однако нас это сейчас не интересует, поскольку в задачах B11 такой переход не встречается.

Теперь взгляните на конкретные примеры:

Задача. Перейдите от радианной меры угла к градусной (значение тригонометрических функций вычислять не надо):

  1. sin π /3;
  2. cos 7 π /6;
  3. tg π ;
  4. sin π /4;
  5. tg 2 π /3;
  6. ctg π /2;
  7. sin 3 π /2;
  8. cos 5 π /4.

Итак, перед нами восемь тригонометрических функций, аргументы которых заданы в радианах. Мы можем перейти от радианной меры аргументов к градусной по правилу: . Имеем:

  1. sin π /3 = sin 180/3 = sin 60°;
  2. cos 7 π /6 = cos (7 · 180/6) = cos 210°;
  3. tg π = tg 180°;
  4. sin π /4 = sin 180/4 = sin 45°;
  5. tg 2 π /3 = tg (2 · 180/3) = tg 120°;
  6. ctg π /2 = ctg 180/2 = ctg 90°;
  7. sin 3 π /2 = sin (3 · 180/2) = sin 270°;
  8. cos 5 π /4 = cos (5 · 180/4) = cos 225°.

Итак, вместо непонятного мы получаем вполне вменяемое число, которое можно умножать и делить по стандартным правилам.

Границы координатных четвертей

Теперь, когда мы умеем заменять радианную меру углов градусной, попробуем переписать всю тригонометрическую окружность. Это будет ключом к решению задачи B11. Основные правила останутся прежними: «нулевой градус» совпадает с положительным направлением , а углы откладываются в направлении против часовой стрелки. Но числа, стоящие на границах координатных четвертей, станут другими. Взгляните:

Отныне вместо непонятных «пи» и «пи-пополам» используйте простую и понятную шкалу:

  1. α ∈ (0°; 90°) ⇒ это угол I координатной четверти;
  2. α ∈ (90°; 180°) ⇒ II координатная четверть;
  3. α ∈ (180°; 270°) ⇒ III координатная четверть;
  4. α ∈ (270°; 360°) ⇒ IV координатная четверть.

Хорошая новость состоит в том, что эти правила очень быстро откладываются в голове — стоит лишь немного потренироваться. И вы точно не забудете эти числа на ЕГЭ по математике, чего нельзя сказать про радианную меру.

Если же память на числа плохая, могу посоветовать одну хитрость. Взгляните еще раз на границы координатных четвертей: 90°, 180°, 270° и 360°. Первая из них — 90° — это прямой угол, знакомый еще из курса средней школы. Его вы точно не забудете. Остальные углы отличаются друг от друга на эти же самые 90°. Взгляните: 180°; 270°; 360°. Таким образом, даже если вы забудете эти числа, их всегда можно восстановить, если просто запомнить, что прямой угол — это 90°.

А теперь разберем конкретные примеры. Будем учиться искать координатные четверти быстро, поскольку от этого умения напрямую зависит решение задачи B11.

Задача. Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции:

  1. sin 8 π /9;
  2. tg 12 π /15;
  3. cos 9 π /10;
  4. cos 7 π /18;
  5. sin 3 π /5;
  6. ctg 5 π /3;
  7. tg 4 π /9;
  8. cos 9 π /20.

Для начала переведем все углы из радиан в градусы по правилу: А затем найдем координатную четверть, ориентируясь по границам: 90°, 180°, 270°, 360°. Имеем:

  1. sin 8 π /9 = sin (8 · 180/9) = sin 160°; это II четверть;
  2. tg 12 π /15 = tg (12 · 180/15) = tg 144°; это II четверть;
  3. cos 9 π /10 = cos (9 · 180/10) = cos 162°; это II четверть;
  4. cos 7 π /18 = cos (7 · 180/18) = cos 70°; это I четверть;
  5. sin 3 π /5 = sin (3 · 180/5) = sin 108°; это II четверть;
  6. ctg 5 π /3 = ctg (5 · 180/3) = ctg 300°; это IV четверть;
  7. tg 4 π /9 = tg (4 · 180/9) = tg 80°; это I четверть;
  8. cos 9 π /20 = cos (9 · 180/20) = cos 81°; это I четверть.

Как видите, далеко не всегда можно найти значение самой тригонометрической функции. Например, попробуйте вычислить cos 162° или sin 108°. Зато мы всегда можем определить, в какой координатной четверти находится данный угол.

Нестандартные углы и периодичность

До сих пор мы рассматривали Но что произойдет, если, например, А как насчет отрицательных углов? Такие углы редко встречаются на ЕГЭ по математике (по крайней мере, в части B), но лучше застраховать себя от подобных «неожиданностей», поэтому предлагаю разобрать и такие задачи. Тем более, схема решения практически ничем не отличается от «стандартных» углов.

Итак, что если Судя по тригонометрической окружности, точка сделает полный оборот — а затем пройдет еще чуть-чуть. Это самое «чуть-чуть» вычисляется очень просто. Достаточно отнять от исходного угла величину 360° (иногда это приходится делать несколько раз).

С отрицательными углами работаем аналогично. Если добавлять к отрицательному углу величину 360°, мы очень скоро получим новый угол Таким образом, вся схема решения выглядит следующим образом:

  1. Перейти от радианной меры угла к градусной. Для этого достаточно сделать замену:
  2. Если полученный угол оказался больше 360°, отнимаем от него по 360° до тех пор, пока новый угол не окажется на отрезке
  3. Аналогично, если угол будет отрицательным, увеличиваем его на 360° до тех пор, пока он не попадет в отрезок
  4. Выясняем, в какой координатной четверти находится полученный угол, ориентируясь на стандартные границы: 90°, 180°, 270° и 360°.

Задача. Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции:

  1. sin 21 π /6;
  2. cos 19 π /3;
  3. sin (−25 π /9);
  4. tg (−11 π /4).
Читайте также  Сравнение восточных и западных типов цивилизаций

Снова переводим все углы из радиан в градусы по правилу: Дальше уменьшаем или увеличиваем аргумент на 360° до тех пор, пока он не окажется на отрезке И только затем выясняем координатную четверть. Получим:

  1. sin 21 π /6 = sin (23 · 180/6) = sin 690°. Очевидно, что 690° > 360°, поэтому выполняем преобразование: sin 690° → sin 330°. это IV четверть;
  2. cos 19 π /3 = cos (19 · 180/3) = cos 1140°. Поскольку 1140° > 360°, имеем: cos 1140° → cos 60°. это I четверть;
  3. sin (−7 π /9) = sin (−7 · 180/9) = Но −140° π /4) = tg (−11 · 180/4) = начинаем увеличивать угол: tg 225°. Это уже нормальный угол. это III четверть.

Вот и все! Обратите внимание: во втором пункте пришлось вычитать 360° три раза — и только затем получился нормальный угол. Аналогично, в четвертом пункте пришлось прибавлять два раза по 360°, чтобы выйти на положительный угол. Таким образом, добавлять и вычитать углы иногда приходится много раз — это не должно настораживать.

В заключение хочу добавить, что если вы хорошо знаете математику и быстро ориентируетесь в радианных углах, то совсем необязательно переводить их в градусы. Однако большинство людей (и не только школьники) предпочитают именно градусную меру — знакомую еще со средней школы и, как следствие, более понятную.

Л2. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ И ДУГ

Для измерения углов и дуг применяют две системы единиц. В одной из них единицы выражают угол или дугу в частях окружности, а во второй – в частях радиуса окружности.

В первой системе применяют следующие единицы:

– градус (º), равный 1/360 части окружности; минута (´), равная 1/60 части градуса, и секунда (´´), равная 1/60 части минуты;

– час (ч), равный 1/24 части окружности; часовая минута (мин), равная 1/60 части часа, и часовая секунда (с), равная 1/60 части минуты. Эти единицы, связанные с вращением Земли, применяют в мореходной астрономии.

Соотношения для перехода от градусов к часам и от часов к градусам следующие: 360º=24 ч; 1º=4 мин; 1´=4с; 1´´=1с/15; 1ч=15º; 1 мин = 15´; 1 с = 15´´.

Переход дуговой меры во временную и наоборот можно делать по соответствующим таблицам МТ-75 [1, табл. 39], МАЕ или в уме, применяя следующие правила.

Рис. 3. Таблица градусной меры во временной мере (МТ-75)

1. Для перевода угла из дуговой меры во временную надо: градусы разделить на 15 – частное даст целые часы; остаток от деления градусов умножить на 4 и к полученному результату прибавить частное от деления дуговых минут (´) на 15 – сумма даст временные минуты (м); остаток от деления дуговых минут умножить на 4 – результат, который надо округлить до единицы, даст временные секунды (с). Например,

123º54,8´=(123º/15) ч +(3ºх4) м +(54,8/15) м +(9,8´х4) с =8 ч 14 м 39 с .

2. Для перевода угла из временной меры в дуговую надо: часы умножить на 15 и прибавить частное от деления временных минут на четыре – результат даст дуговые градусы (º); остаток от деления временных минут умножить на 15 и прибавить частное от деления временных секунд на 4, взятое с точностью до десятых долей; — результат даст дуговые минуты (´) с десятыми долями. Например,

7 ч 39 м 43 с =(7 ч х15)º+(39/4)º+(3 м х15)º+(43 с /4)=114º55,8´.

Во второй системе измерения углов и дуг за единицу измерения принимают угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Этот угол называется радианом. Он равен 57º17´44,80625≈57º,3. Т.е. радиан численно равен отношению 360º/2π. Это следует из соотношения 360º=2π*R/R = 2π≈6,283185… В минутах 1 рад = 3437´,7≈3438´.

Следовательно, для перевода углов из градусной меры в радианную можно использовать формулы:

α рад ≈ αº/57º,3 ≈ α´/3438´≈ α´´/206265´´ или

α рад ≈ αº*1/57º,3 = αº arc 1º ≈ α´*1/3438´ = α´ arc 1´ ≈ α´´*1/206265´´= α´´ arc 1´´.

В последнем случае arc 1º, arc 1´, arc 1´´ обозначают дуги 1º, 1´, 1´´, выраженные в радианной мере.

Для обратного перехода служат формулы:

αº = α рад/ arc 1º; α´ = α рад/ arc 1´; α´´ = α рад/ arc 1´´.

При выводе формул в навигации и мореходной астрономии используются свойства некоторых тригонометрических функций малых углов. Эти свойства позволяют значения таких тригонометрических функций заменять значениями малых углов:

sin α ≈ αº arc 1º; cos α ≈1; tg α ≈ αº arc 1º.

Безусловно, такая замена вызывает погрешности, которые будут тем больше, чем больше угол. Если принять допустимой погрешностью 0,1º, то первая формула пригодна для углов до 12,5º, (2) – до 3,4º, (3) – до 9,9º. Для углов меньше указанных в 2 раза погрешность не превысит 1´.

Методические рекомендации по практическим занятиям

ПЗ Рекомендации
ПЗ2 A) Измерение углов градусами, минутами и секундами За единицу угла в этой системе принят градус, равный одной девяностой части прямого угла или 1/360 части окружности. Градус (º) делится на 60 частей, называемых минутами (´); минута делится на 60 частей, называемых секундами (´´). Б) Измерение углов во временной мере часами, минутами и секундами Измерение основано на том, что время численно равно часовому углу соответствующей части небесной сферы (среднее Солнце или точки (созвездия) Овна). Связь между градусными и временными мерами устанавливается из следующих соотношений: 24 ч=360º; 1º=4 мин; 1 час=15º; 1´=4с; 1 мин = 15´; 1´´ = 0.0667 сек; 1 сек = 15´´. Перевод углов из градусной меры во временную и обратно может выполняться с применением таблиц МТ-75 [1, тт.38,39], МТ-2000 [2, тт.5.8-5.10], МАЕ. Пример записи угловых величин: 48º13´18´´ или 48º13,3´. В судовождении чаще всего используют второй тип записи, так как в основном МНК2 (кроме планов) имеют градуировку вертикальных и горизонтальных рамок в градусах и минутах, а судоводитель выполняет визуальную интерполяцию с точностью до одной десятой минуты. Наиболее точные навигационные инструменты – секстан и протрактор – тоже имеют градуировку в градусах и минутах. Пример записи временных величин: 18 ч 15 м 48 с или 18 ч 16 м . Первый вид записи характерен для выполнения астрономических вычислений и наблюдений, при которых время фиксируется с точностью 0.5с. Второй вид записи характерен для выполнения практически всех навигационных расчётов, так как точность судовых часов составляет ±30с и поэтому количество секунд округляют до целой минуты. В) Измерение углов радианами За единицу измерения углов в радианной мере принимается угол, стягиваемый дугой, длина которой равна радиусу. Эта единица называется радианом и обозначается буквой ρ. В математических формулах углы обычно выражены в радианах. Известно, что длина окружности в длинах радиуса равна 2πR и она соответствует углу 360º. 360º=2πR/R=6,283135 (рад) (град→рад) 1 рад = ρ = 360/6,283135 = 57º17´44,8´´=3437,7´.

Методические рекомендации по самостоятельной работе студентов

Л Рекомендации
Изучить объяснения справочных таблиц 38, 39 [1, с.49].
| следующая лекция ==>
Л1. ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ | Л3. ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: