Последняя цифра степени - ABCD42.RU

Последняя цифра степени

Последняя цифра степени числа

Нахождение последней цифры в записи степени натурального числа.

После изучения темы “Степень с натуральным показателем” была предложена такая задача: найти последнюю цифру степеней:

Мы заметили, что в первом случае показатели степеней составные числа, а во втором случае показатели степеней простые числа. В обоих случаях есть основания четные и нечетные. Мы сначала попробовали представить степени в виде произведения степеней с тем же основанием и одинаковыми показателями, затем воспользовались со свойствами степеней с натуральными показателями

Просмотр содержимого документа
«Последняя цифра степени числа»

Последняя цифра степени.

Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2 n , где n – натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу:

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2 n для любого показателя n.

В самом деле, возьмем число 2 100 . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2 4 , 2 8 , 2 12 , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2 100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 2 22 , если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

Закономерности возведения в степень:

Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.

При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.

Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).

Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

Степень

04

05

08

09

10

Последняя цифра степени — реферат

МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»

Научное сообщество учащихся «Поиск»

Тема: « Последняя цифра степени.»

Выполнила: ученица 7 «б» класса

Терентьева Валентина

Руководитель: Пушило Т.Л.

р.п. Шербакуль

2010 – 2011 уч. год

· Введение.

· Цели работы.

· Последняя цифра степени.

· Закономерности возведения в степень

· Две последних цифры степени.

· Задачи.

· Заключение.

· Использованная литература .

Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы

1 1989 + 2 1989 + 3 1989 + 4 1989 + 5 1989 +…+ 1989 1989 .

Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели работы:

· Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.

· Найти закономерность в них.

· Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.

Последняя цифра степени.

Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2 n , где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого рассмотрим таблицу:

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2 n для любого показателя n .

В самом деле, возьмем число 2 100 . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2 4 , 2 8 , 2 12 , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2 100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 2 22 , если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

Закономерности возведения в степень:

    • Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.
    • Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.
    • При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.
    • Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).
    • Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

Степень

04

05

Научная работа на тему «Последняя цифра степени»

Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов

Читайте также  Художественная культура как особая область культуры

Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте

откроется в новом окне

Выдаем Удостоверение установленного образца:

ХIII городская научно-практическая конференция школьников «Первые шаги в науку» Возрастная категория: «Юный исследователь»

Секция: алгебра и геометрия

Исследовательский проект на тему

« Последняя цифра степени »

Карпачёв Денис Олегович,

ученик 9 «Б» МБУ «Школа № 70»

г.о. Тольятти Самарской обл.

Научный руководитель:

Владимирова Ольга Ивановна,

учитель математики МБУ «Школа № 70»

г.о. Тольятти Самарской обл.

Тольятти 2017

Готовясь к различным олимпиадам и конкурсам по математике, часто встречаются задания типа: “Какой цифрой оканчивается данное число?”

Решая такие задания, возникла тема исследования: “какой же будет последняя цифра натурального числа, взятого в любой степени? Имеется ли какая-либо закономерность в том, как изменяется последняя цифра натурального числа в зависимости от степени?”

Цель работы: нахождение закономерности изменения последних цифр степени с изменением её показателя, упорядочивание полученных результатов в таблицу, составление алгоритмов для решения задач “Последняя цифра числа”.

Методы исследования: метод сравнения, метод обобщения, метод аналогии.

Результатом работы является нахождение закономерности в последних цифрах степени и составлении наглядной таблицы, показывающей данную закономерность.

Таблица последних цифр степеней:

С помощью таблиц, составленных мною, я смог определить особенности изменения последних цифр степени. Эти особенности помогли мне в решении многих задач.

Список ключевых слов

Последняя цифра степени

“ Все, что познается, имеет число,

ибо невозможно ни понять ничего,

ни познать без него.”

Готовясь к различным олимпиадам и конкурсам по математике, часто встречаются задания типа: “Какой цифрой оканчивается данное число?”

Решая такие задания, возникла тема исследования: “какой же будет последняя цифра натурального числа, взятого в любой степени? Имеется ли какая-либо закономерность в том, как изменяется последняя цифра натурального числа в зависимости от степени?”

Цель работы: нахождение закономерности изменения последних цифр степени с изменением её показателя, упорядочивание полученных результатов в таблицу, составление алгоритмов для решения задач “Последняя цифра числа”.

Результатом работы является нахождение закономерности в последних цифрах степени и составлении наглядной таблицы, показывающей данную закономерность.

Актуальность темы заключается в необходимости поиска решений олимпиадных задач, так как все чаще можно встретить данные задания в конкурсах различного уровня.

Результаты, полученные мною, могут быть использованы педагогами и учениками для подготовки к урокам, факультативам и олимпиадам.

Основная часть

Давайте же выясним: есть ли какая-нибудь закономерность в том, как происходит изменение последней цифры натурального числа.

Для нахождения данной закономерности составим таблицу, где N –натуральное основание степени, а n – натуральный показатель степени.

Для большей наглядности составим таблицу, где будут записаны только последние цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел в данных степенях (таблица 2)

Посмотрев на полученную таблицу можно увидеть некоторые закономерности и особенности:

В каждом четвёртом столбце таблицы (для удобства они выделены одним цветом) последняя цифра одинакова. То есть последние цифры числа, взятого в 5, 9, 13…, или во 2, 6, 10…, или в 3, 7, 11…, или в 4, 8, 12… степени будут совпадать.

Также получаем, что любая степень натуральных чисел, оканчивающихся на 0, 1, 5, 6 заканчивается соответственно на 0, 1, 5, 6.

Последние цифры степени чисел, основания которых оканчиваются на одну и ту же цифру, и имеющие одинаковые показатели, равны.

При возведении 4 в чётную натуральную степень получим 6 в конце данного числа, а при возведении в нечётную натуральную степень получим 4 в конце данного числа.

Аналогичная особенность наблюдается и у числа 9. Так как при возведении этого числа в чётную натуральную степень мы получим 1 в конце данного числа, а при возведении в нечётную натуральную степень мы получим 9 в конце данного числа.

Немаловажной особенностью является и то, что квадрат любого числа может оканчиваться только на: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Но куб числа может оканчиваться любой цифрой.

В зелёных столбцах у чётных чисел квадрат оканчивается 6, а у нечётных чисел на 1. Исключениями являются числа, оканчивающиеся на 0 и 5.

Найдя данные закономерности, мы можем приступить к решению простых задач…

Решение задач

48 : 4 = 12 (остаток 0)

24 : 4 = 6 (остаток 0)

100 : 4 = 25 (остаток 0)

Данное решение следует из последней, указанной мною, закономерности. Если остаток показателя степени кратен 4, то если бы я продлил таблицу до данного показателя, то столбец под этим показателем был бы зелёным, что следует из первой, указанной мною, закономерности. Далее необходимо было определить чётность или нечётность основания степени, и исходя из найденных данных, найти ответ.

Но что делать, если остаток показателя степени не кратен 4? Проанализировав данные, я смог подойти к решению и этой задачи.

Если остаток от деления показателя на 4 равен 1, то последней цифрой числа будет последняя цифра основания степени;

Если остаток от деления показателя на 4 равен 2, то последней цифрой числа будет квадрат последней цифры основания степени;

Если остаток от деления показателя на 4 равен 3, то последней цифрой числа будет куб последней цифры основания степени;

Убедиться в этом можно рассмотрев несколько примеров, где остаток от деления показателя степени не кратен 4.

97 : 4 = 24 (остаток 1)

50 : 4 = 12 (остаток 2)

102 : 4 = 25 (остаток 2)

1003 : 4 = 250 (остаток 3)

303 : 4 = 75 (остаток 3)

То есть, для нахождения последней цифры степени с натуральным показателем, необходимо найти остаток от деления показателя данной степени на 4. Далее, необходимо воспользоваться предоставленными мною выше этапами.

Научившись решать задачи и найдя большое количество свойств и закономерностей с последней цифрой степени, меня заинтересовал вопрос: «Как же будут изменяться две последние цифры степени, с изменением её показателя?»

Глядя на эту таблицу, видно, что период повторения двух цифр имеется, но он намного больше, чем период повторения последней цифры, и равен 20.

Последние две цифры числа 7 повторяются с периодом 4;

Любая натуральная степень чисел 5 (кроме показателя 1) и 25 оканчивается на 25;

Последние две цифры числа 6 повторяются с периодом 5, причём 6 не входит в период, то есть более не повторяется;

Последние две цифры чисел 4 и 9 повторяются с периодом 10;

Любая чётная степень 15 оканчивается на 25, а нечётная (кроме показателя 1) на 75;

Период числа 11 равен 10, где число десятков равно числу единиц показателя степени.

Интересна 20 столбец, так как в нём у всех чётных оснований две последние цифры – 76, а у нечётных – 01. Исключениями являются цифры, оканчивающиеся на 0 ли 5.

Узнав весь теоретический материал, излагаемый мной в этой работе, я предложу несколько более сложных задач с объяснением их решения.

Решение задач

В книге рекордов Гиннеса было написано, что наибольшее известное простое число: (Опечатка, так как число оканчивается 1, следовательно, данное число оканчивается на 0 и потому делится на 10, что противоречит написанному).

Читайте также  Разработка комплекса маркетинга маркетинга в гостиничном предприятии

Найдите две последние цифры суммы + + + · · · + + . (для решения данной задачи необходимо найти две последние цифры суммы степеней с основаниями от 1 до 10 и помножить полученный результат на 10, так как сумма степеней с основаниями от 1 до 10 равно сумме оснований от 11 до 20, от 21 до 30, от 31 до 40… т.к. последние цифры оснований степеней совпадают (1,11,21,31…) и их показатели равны. Находим сумму искомую сумму из таблицы 3, предоставленной выше: 1+76+1+76+25+76+1+76+1+0=333, следовательно, две последние цифры – 33.

Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 10. (Квадрат любого натурального числа оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Если в наборе есть два квадрата, оканчивающиеся на две одинаковые цифры, при их вычитании получится число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10. Если же все пять последних цифр квадратов в наборе различны, то среди них обязательно будет либо пара (4, 6), либо пара (1, 9). Тогда сложим эти квадраты и тоже получим число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10.)

В магазин привезли 206 литров молока в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов каждого вида?

(Нужно взять несколько слагаемых по 10 л и несколько слагаемых по 17 л так, чтобы сумма была равна 206 л (в частности, чтобы последняя цифра суммы равнялась 6). Количество десятилитровых бидонов не влияет на последнюю цифру суммы. Значит, надо только выяснить, сколько должно быть 17-литровых бидонов, чтобы их суммарный объём оканчивался цифрой 6. Для этого количество 17-литровых бидонов должно оканчиваться на 8. То есть 17-литровых бидонов может быть 8, 18, 28, и т.д. Но если их хотя бы 18, то их общий объём составляет по крайней мере 18·17 = 306 л, что больше, чем 206 л. Значит, 17-литровых бидонов будет 8, и их общий объём будет равен 136 л. Тогда десятилитровые бидоны должны иметь общий объем 70 л, а для этого их должно быть 7.)

Делится ли число 47 30 +39 50 на 10?

(Число 47 30 оканчивается цифрой 9, а число 39 50 — цифрой 1. Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)

Найдите последнюю цифру в произведении всех нечётных чисел от 1 до 2013.

(Это произведение делится на 5, но не делится на 2. Поэтому в силу признаков делимости на 2 и 5 оно может оканчиваться только цифрой 5.)

Таблица степеней

Таблица степеней чисел с 1 до 10. Калькулятор степеней онлайн. Интерактивная таблица и изображения таблицы степеней в высоком качестве.

Калькулятор степеней

С помощью данного калькулятора вы сможете в режиме онлайн вычислить степень любого натурального числа. Введите число, степень и нажмите кнопку «вычислить».

Таблица степеней от 1 до 10

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 n 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
4 n 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576
5 n 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625
6 n 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 60466176
7 n 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 40353607 282475249
8 n 8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 134217728 1073741824
9 n 9 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 387420489 3486784401
10 n 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 10000000000

Таблица степеней от 1 до 10

7 10 = 282475249

8 10 = 1073741824

9 10 = 3486784401

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

10 10 = 10000000000

Теория

Степень числа – это сокращенная запись операции многократного умножения числа самого на себя. Само число в данном случае называется — основанием степени, а количество операций умножения — показателем степени.

запись читается: «a» в степени «n».

«a» — основание степени

«n» — показатель степени

4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096

Данное выражение читается: 4 в степени 6 или шестая степень числа четыре или возвести число четыре в шестую степень.

Последняя цифра числа

Найдите последнюю цифру числа:

а) Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.

То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел (457) и (369) . Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть (7cdot 9 = 63) , и так последняя цифра у (63) – это (3) , то последняя цифра произведения чисел (457) и (369) тоже (3) .

Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней тройки: [3,, 9,, 7,, 1,, 3,, 9,, 7,, 1,cdots] Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры (3, 9, 7, 1) повторяются, значит, последняя цифра числа (3^<33>) зависит от того, какой остаток будет давать число (33) при делении на (4) (так как блоки по (4) цифры).

Так как остаток (33) при делении на (4) равен (1) , то (3^<33>) заканчивается на такую же цифру, как и (3^1) . Таким образом, последняя цифра числа (3^<33>) – это (3) .

б) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа (57^<57>) – это (7) .

в) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа (2016^<2016>) – это (6) .

Академик Котовский нашел самое большое простое число: (1999876891^<999>-1) . Не перепутал ли чего академик?

Посмотрим на последнюю цифру числа (1999876891^<999>) .

Так как число (1999876891) оканчивается на (1) , то и число (1999876891^<999>) тоже оканчивается на (1) , тогда число (1999876891^<999>-1) оканчивается на (0) , значит, оно делится на (10) , следовательно, оно не простое. Академик ошибся.

Делится ли число (27^<23>+33^<11>) на (10) ?

Найдем последнюю цифру числа (27^<23>+33^<11>) .

Так как последняя цифра числа (27^<23>) – это (3) , а последняя цифра числа (33^<11>) – это (7) , то последняя цифра числа (27^<23>+33^<11>) – это (0) , а значит это число делится на (10) .

Докажите, что все числа вида (n!) при всевозможных натуральных (n) , больших четырёх, оканчиваются на одну и ту же цифру.

При (n geq 5) : [n! = 1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot . cdot n = 120cdot . cdot n] – делится на (10) , следовательно, последняя цифра такого числа равна (0) .

Найдите последнюю цифру числа, равного (0! + 1! + 2! + 3! + dots + 2017!) , если (0! = 1) – по определению.

Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр исходных слагаемых.

Так как при (ngeq 5) последняя цифра числа (n!) равна (0) , то все числа вида (n!) при (ngeq 5) не дадут вклада в последнюю цифру исходной суммы.

Таким образом, последняя цифра исходной суммы совпадает с последней цифрой суммы [0! + 1! + 2! + 3! + 4!,] которая равна последней цифре суммы последних цифр её слагаемых, то есть последней цифре числа [1 + 1 + 2 + 6 + 4 = 14,] которой является цифра (4) .

Последняя цифра числа (n^2) равна (4) ( (ninmathbb) ). Может ли предпоследняя цифра числа (n^2) быть нечётной?

Так как последняя цифра числа (n^2) равна (4) , то (n^2) – чётное, следовательно, (n) – чётное, тогда (n^2) делится на (4) , что равносильно тому, что число, образованное двумя последними цифрами числа (n^2) , делится на (4) .

Не более чем двузначные числа, у которых последняя цифра равна (4) , которые и сами делятся на (4) : [04,qquad 24,qquad 44,qquad 64,qquad 84,.]

Таким образом, предпоследняя цифра числа (n^2) обязательно чётна.

Можно ли составить из цифр (1) , (2) , (8) , (9) (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в (17) раз больше другого?

Докажем методом от противного: пусть такие числа (m) , (n) существуют. Пусть при этом (m = 17cdot n) , тогда какой может быть последняя цифра числа (m) ?

Ответ на последний вопрос зависит от последней цифры числа (n) . Рассмотрим все возможные варианты:
1) последняя цифра числа (n) – это цифра (1) , тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (7) , но (m) не может содержать в своей записи цифру (7) .
2) последняя цифра числа (n) – это цифра (2) , тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (4) , но (m) не может содержать в своей записи цифру (4) .
3) последняя цифра числа (n) – это цифра (8) , тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (6) , но (m) не может содержать в своей записи цифру (6) .
4) последняя цифра числа (n) – это цифра (9) , тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (3) , но (m) не может содержать в своей записи цифру (3) .

Таким образом, подходящих (m) и (n) не существует.

ЕГЭ по математике — одно из самых сложных тестирований для выпускников. Многолетняя практика показала, что очень часто ученики допускают неточности при вычислении последней цифры натурального числа. Данная тематика сама по себе довольно сложна, так как требует особой точности, внимательности и развитого логического мышления. Чтобы без проблем справиться с подобными заданиями, рекомендуем воспользоваться удобным онлайн-сервисом «Школково». На нашем сайте вы найдете все необходимое для решений уравнений на нахождение последней ненулевой цифры числа и подтяните знания в смежных тематиках.

Сдавайте Единый государственный экзамен на «отлично» вместе со «Школково»!

Наш образовательный портал построен таким образом, чтобы выпускнику было максимально удобно готовиться к итоговой аттестации. Сначала ученик обращается к разделу «Теоретическая справка»: вспоминает правила решения уравнений, освежает в памяти важные формулы, которые помогают найти последнюю цифру числа. После этого переходит в «Каталоги», где находит множество задач различных уровней сложности. Если с каким-либо упражнением возникают затруднения, его можно перенести в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже и решить самостоятельно либо с помощью преподавателя.

Специалисты «Школково» собрали, систематизировали и изложили материалы по теме в максимально простой и понятной форме. Таким образом большое количество информации усваивается в короткие сроки. Школьники смогут выполнять даже те задания, которые совсем недавно вызывали у них большие трудности, в том числе и те, где необходимо указать несколько решений.

Чтобы занятия проходили максимально эффективно, рекомендуем начать с наиболее легких примеров. Если они не вызвали сложностей, не теряйте время — переходите к задачам среднего уровня, так вы определите свои слабые стороны, сделаете упор на наиболее сложные для вас задания и добьетесь больших результатов. После ежедневных занятий в течение 1―2 недель вы сможете за пару минут вывести даже последнюю цифру числа Пи. Данное задание достаточно часто встречается в ЕГЭ по математике.

База упражнений на нашем портале постоянно обновляется и дополняется преподавателями с большим стажем. У школьников есть отличная возможность каждый день получать совершенно новые задания, а не зацикливаться на одних и тех же примерах, как зачастую приходится делать при повторении по школьному учебнику.

Начните занятия на сайте «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать!

Обучение на нашем портале доступно всем желающим. Чтобы вы отслеживали свой прогресс и получали новые задания, созданные персонально для вас, зарегистрируйтесь в системе. Желаем вам удачной подготовки!

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: