Построение годографов Михайлова при помощи пакета MATHCAD - ABCD42.RU

Построение годографов Михайлова при помощи пакета MATHCAD

Методика применения пакета Mathcad для решения научных и типовых общетехнических задач , страница 28

2.6.2. Применение Mathcad при исследовании устойчивости систем автоматического управления по критерию Найквиста-Михайлова

Критерий предложен Найквистом в 1932 г. для исследования устойчивости усилителей с обратной связью. Критерий был по–новому обоснован, обобщен и применен в теории автоматического управления А.В. Михайловым в 1938 г. [31, с. 162].

Согласно этому критерию для устойчивости годограф амплитудно-фазовой характеристики W(jw) разомкнутой САУ на комплексной плоскости не должен проходить слева от точки (–1,j0).

На рис. 2.8 показано исследование устойчивости САУ с передаточной функцией разомкнутой системы

путем построения годографа W(jw) с использованием вычислительных и графических возможностей Mathcad.

Этапы исследования

1. По виду передаточной функции разомкнутой системы (2.8) в рабочем документе наберите вычислительную схему (2.9):

Предпоследние две строчки схемы – двухстолбцовые однострочные матрицы для отображения точек (–1, j0) и (0, j0) на комплексной плоскости. Последняя строка – полуокружность единичного радиуса.

2. Ознакомьтесь с разд. 3.1…3.3 построения и редактирования графиков.

3. Вызовите шаблон графика (первая кнопка панельки Граф) и вставьте в места ввода шаблона данные, согласно рис. 2.8,А для пробных нескольких значений параметра «k» (или других исследуемых параметров).

4. Выделите график и через меню Формат-Граф-Зум вызовите панельку (X-Y Zoom). Щелкните левой кнопкой мышки на графике для активизации панельки и выделите мышкой вокруг точки (–1, j0) прямоугольную область для увеличения, как показано на рис. 2.8,А (размеры выделенной области в мм показаны в оконцах панельки); нажмите ОК на панельке: получите вид типа рис.2.8Б (но без прямоугольной области).

5. Если выделенная область не устраивает вас, вновь выделите график и вызовите панельку (X-Y Zoom). Повторите выделение графика для активизации панельки и нажмите на ней кнопку Full View: на восстановленном исходном графике повторите выделение области для увеличения.

6. Повторите п. 3 для увеличенного графика, т.е. сделайте повторное увеличение (размеры области для второго увеличения показаны на панельке X-Y Zoom рис. Б) – получите рис. 2.8,В.

7. Вызовите измерительную панельку командой Формат-Граф-Trace и произведите измерение на действительной оси запаса устойчивости D, поместив измерительное перекрестье в точку р1 (на рис. 2.8,В запас устойчивости 4 %): если он не удовлетворяет требованиям, измените настроечные параметры (для данного примера – величинуk).

8. При получении хD в диапазоне ( –1£ хD £ –0,96) вычислите запас устойчивости по амплитуде по формуле (2.10) (используя запись в РДМ, аналогичную рис. 2.8,Г)

D = (–1 – хD)×100 % (2.10)

и по фазе, используя формулу (2.11):

m = 180 – acos(xm)×180/p град.(2.11)

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 267
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 603
  • БГУ 155
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 963
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 120
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1966
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 299
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 408
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 498
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 131
  • ИжГТУ 145
  • КемГППК 171
  • КемГУ 508
  • КГМТУ 270
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2910
  • КрасГАУ 345
  • КрасГМУ 629
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 138
  • КубГУ 109
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 369
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 331
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 637
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 455
  • НИУ МЭИ 640
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 213
  • НУК им. Макарова 543
  • НВ 1001
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1993
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 302
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 120
  • РАНХиГС 190
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 245
  • РГГМУ 117
  • РГПУ им. Герцена 123
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 123
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 131
  • СПбГАСУ 315
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 146
  • СПбГПУ 1599
  • СПбГТИ (ТУ) 293
  • СПбГТУРП 236
  • СПбГУ 578
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 194
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1654
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1473
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2424
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 325
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов

  • О проекте
  • Реклама на сайте
  • Правообладателям
  • Правила
  • Обратная связь

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Исследование устойчивости системы с помощью критерия Михайлова

Содержание

курсовой работы по дисциплине » Теория автоматического управления»,

тема «Исследование линейных САУ»,

специальность 140604, группа ЭП-31

4) Структурные преобразования………………………………. …………4

5) Исследование устойчивости САУ в среде пакета Mathcad…………..5

6) Исследование устойчивости САУ в среде пакета MATLAB-Simulin.10

Введение.

Целью данной курсовой работы является исследование на устойчивость линейной САУ (системы автоматического управления). Анализ проводить различными методами: алгебраическими и частотными. При исследовании использовать два программных пакета Mathcad 14.0 и Matlab 6.5 с встроенным пакетом Simulink. На основе полученных данных сделать выводы о устойчивости системы линейной САУ и о том какие результаты выдали разные программные пакеты (совпали ли они).

Исходные данные.

Значения передаточных функций звеньев:

W1 W2 W3 W4

Значения коэффициентов усиления:

, , , .

Значения постоянных времени(с):

, , , ,

Структурные преобразования.

Эти преобразования нужны для упрощения исходной схемы и получения одной передаточной функции.

Подставим все имеющиеся числовые данные в формулы передаточных звеньев:

; ; ;

Звено соединено последовательно со звеном . Их общая передаточная функция находится перемножением: .

Звено параллельно звену по положительной связи. Их общая передаточная функция находится сложением: .

Звено соединено последовательно со звеном . Их общая передаточная функция находиться перемножением: .

Звено имеет отрицательную обратную связь. Общая передаточная функция всей системы имеет вид:

Исследование устойчивости линейной САУ в среде пакета Mathcad.

Найдем передаточную функцию системы используя структурные преобразования.

Читайте также  Проектирование и изготовление мебели

1) Первое преобразование:

2) Второе преобразование:

3) Третье преобразование:

4) Четвертое преобразование:

Получим основные характеристики исследуемой передаточной функции.

1) Заменим оператор s на jω и распишем функцию в виде коэффициентов b(ω), c(ω), d(ω), f(ω).

Теперь составим функции U(ω) и V(ω) по следующим формулам:

2) АФЧХ (разворот годографа) будет иметь вид:

3) АЧХ имеет вид:

4) ФЧХ имеет вид:

Т.к. ФЧХ имеет скачкообразный вид, вводим специальные уравнения сглаживающие эти скачки:

5) Логарифмическая характеристика имеет вид:

Найдем корни характеристического уравнения передаточной функции:

Отметим данные корни на комплексной плоскости:

Из графика видно, что система находится на границе устойчивости (имеются корни на Re(z)=0).

Исследование устойчивости системы с помощью критерия Михайлова.

На основе этого критерия система является устойчивой, если при изменении частоты от 0 до ∞ годограф характеристического вектора (кривая Михайлова) начинается на положительной части вещественной оси и последовательно обходит в положительном направлении n-квадрантов.

Знаменатель передаточной функции имеет вид:

Выделим действительную и мнимую часть:

Построим годограф по ним при изменении ω от 0 до 1:

Полученный график говорит об неустойчивости системы.

Построение годографов Михайлова при помощи пакета MATHCAD

Критерий предполагает построение годографа Михайлова, т. е. кривой, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении со от 0 до Вектор получается из характеристического полинома замкнутой системы при подстановке

Годограф начинается при на вещественной положительной полуоси в точке и при уходит в бесконечность в соответствующем квадранте. Угол поворота вектора определяется выражением

где а — степень характеристического полинома; — число его корней с положительной вещественной частью.

Следовательно, для устойчивости системы порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова обошелв положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно квадрантов, нигде не обращаясь в нуль.

Приблизительный вид годографов Михайлова устойчивых систем первого — пятого порядков показан на рис. 6.2. Если система на границе устойчивости, то годограф проходит через начало осей координат так, что после небольшой его деформации около начала осей координат критерий удовлетворяется. Г одографы системы четвертого порядка, находящейся на границе устойчивости, показаны на рис. 6.3. На рис. 6.3, а характеристический полином имеет пару чисто мнимых корней

Рис. 6.2. Годографы Михайлова устойчивых систем

Рис. 6.3. Годографы Михайлова систем четвертого порядка, находящихся на границе устойчивости: а — колебательной; б — апериодической

(колебательная граница устойчивости), во втором (рис. 6.3, б) — нулевой корень (апериодическая граница устойчивости).

Рассмотрим годографы неустойчивых систем четвертого порядка (рис. 6.4). Их характеристический полином имеет положительный вещественный корень (кривая два положительных вещественных корня (кривая 2), два комплексных сопряженных корня с положительной вещественной частью (кривая 3), два чисто мнимых корня и положительный вещественный корень (кривая 4). В последнем случае годограф проходит через начало осей координат, но небольшая деформация его не приводит к удовлетворению критерия. Имея годограф неустойчивой системы и пользуясь равенством (6.15), можно определить число корней характеристического полинома с положительной вещественной частью.

Характеристический полином можно представить в таком виде:

где

После подстановки получим

Таким образом можно определять координаты годографа Михайлова, не вычисляя степеней со выше второй. Расчет при каждом значении частоты удобно вести по схеме, показанной в табл. 6.3.

Рис. 6.4. Годографы Михайлова неустойчивых систем четвертого порядка

Таблица 6.3 (см. скан) Вычисление координат годографа Михайлова

Коэффициенты получаются алгебраическим сложением коэффициентов

Иногда удобнее пользоваться другой формулировкой критерия. Михайлова: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой (полином Y) и вещественной (полином X) частей ее характеристического вектора были положительными вещественными и чередовались.

ПОСТРОЕНИЕ ГОДОГРАФОВ МИХАЙЛОВА ПРИ ПОМОЩИ ПАКЕТА «MATHCAD»

построение годографов михайлова при помощи пакета «mathcad»

Цель работы заключается в необходимости получения простого и наглядного инструмента для решения задач расчёта устойчивости систем автоматического управления, что является обязательным условием работоспособности любого промышленного робота и манипулятора.

1 Понятие об устойчивости системы

Как видно из цели исследования, необходимым условием работоспособности системы автоматического управления (САУ), является её устойчивость. Под устойчивостью принято понимать свойство системы восстанавливать состояние равновесия, из которого она была выведена под влиянием возмущающих факторов после прекращения их воздействия [1]. Если система не способна возвращаться в состояние равновесия, которое было нарушено в процессе работы, то для практического использования она непригодна.

На практике для определения устойчивости САУ используют критерии устойчивости, то есть правила, с помощью которых можно определить устойчива ли система, не прибегая к решению дифференциальных уравнений. Одним из таких критериев, есть критерий устойчивости Михайлова.

2 Критерий устойчивости Михайлова

Данный критерий основан на связи характера переходного процесса системы с амплитудой и фазой вынужденных колебаний, устанавливающихся в системе при синусоидальном воздействии. Анализ устойчивости системы этим методом сводится к построению по характеристическому многочлену замкнутой системы (знаменатель передаточной функции), комплексной частотной функции (характеристического вектора):

где и – соответственно вещественная и мнимая части знаменателя передаточной функции, по виду которой можно судить об устойчивости системы.

Если задаваться различными значениями частоты и откладывать по горизонтальной, а по вертикальной осям декартовой системы координат, то будет получена кривая, называемая годографом характеристического вектора или годографом Михайлова.

В таком случае, критерий устойчивости Михайлова может быть сформулирован следующим образом: замкнутая САУ устойчива, если комплексная частотная функция , начинаясь на действительной положительной оси, при изменении частоты от 0 до ∞ огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения системы, т. е.

Рисунок 1 – Амплитудно-фазовые характеристики (годографы) критерия Михайлова: а) – устойчивой системы; б) – неустойчивой системы (1, 2) и системы на границе устойчивости (3)

На рис. 1 показаны примеры перемещения годографов Михайлова для различных систем с изменяющимся порядком n характеристического уравнения.

3 Алгоритм построения годографа Михайлова

Рассмотрим последовательность расчёта критерия устойчивости Михайлова и сформируем алгоритм построения годографа, используя математический пакет «MathCad», на приведенных ниже примерах.

Пример 1. Используя критерий Михайлова, определим устойчивость системы автоматического управления электроприводом манипулятора промышленного робота (МПР). Структурная схема САУ электроприводом МПР изображена на рис. 2.

Рисунок 2 – Структурная схема САУ электроприводом МПР

Передаточная функция данной САУ имеет следующее выражение [2]:

где kу – коэффициент усиления усилителя, kм – коэффициент пропорциональности частоты вращения двигателя величине напряжения на якоре, Tу – электромагнитная постоянная времени усилителя, Tм – электромеханическая постоянная времени двигателя с учётом инерции нагрузки (по своим динамическим характеристикам двигатель представляет собой передаточную функцию последовательно соединённых инерционного и интегрирующего звеньев), kдс – коэффициент пропорциональности между входной и выходной величинами датчика скорости, K – коэффициент усиления главной цепи: .

Подставим численные значения в выражение передаточной функции:

K = 100 град / (В∙с); kдс = 0,01 В / (град∙с); Tу = 0,01 с; Tм = 0,1с.

Далее запишем характеристический многочлен замкнутой системы заменив s на :

С помощью (1) выделим вещественную и мнимую части и подставим численные значения в полученную комплексную частотную функцию:

Читайте также  Особенности экспертизы мебельных товаров на примере

Имея данные в виде (7), перейдём непосредственно к использованию математического пакета «MathCad».

Для этого в верхнем меню выберем «Новый…» – «Пустой документ», в котором будем формировать программу построения годографа Михайлова, используя нижеприведенный алгоритм.

Шаг 1. Задать разрешение годографа диапазоном значений индекса i. Например:

Шаг 2. Определить исследуемый диапазон и шаг частоты , используя значения индекса i (обычно, для практических расчётов, максимальная величина частоты не превышает значения 1000, в нашем же примере – достаточно принять с частотным шагом 0,1):

Шаг 3. Полученные вещественную и мнимую части характеристического уравнения, зададим численными значениями (в данном случае используя (7)) в виде:

Рисунок 3 – Массивы значений , и , рассчитанные в «MathCad»

Шаг 4. В результате вычислений (9), (10) и (11), получаются массивы значений частоты , а также вещественной и мнимой частей (рис. 3).

Шаг 5. Далее имея рассчитанные массивы значений и , переходим к построению годографа Михайлова, используя встроенную функцию «MathCad» – «Инструменты графиков», выбрать «Декартов график». Здесь необходимо определить идентификаторы осей (в данном случае ось абсцисс соответствует вещественной части , а ординат – мнимой части ) и параметры графика в подменю «Формат…». В результате получим график комплексной частотной функции, приведенный на рис. 4.

Рисунок 4 – Годограф Михайлова для САУ электроприводом МПР

Используя функцию «Трассировка…» (пунктирные линии на рис. 4), можно определить, в соответствующем трассировке окне, точные значения годографа в любой точке рассчитанных массивов.

Таким образом, по рассчитанным данным, построенный годограф Михайлова, начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно три квадранта, что соответствует порядку характеристического уравнения. Следовательно, данная САУ электроприводом МПР – устойчива.

В соответствии с изложенным алгоритмом, рассмотрим ещё один пример расчёта критерия устойчивости Михайлова и построения комплексной частотной функции.

Пример 2. На современных автомобильных заводах широко применяются большие сварочные роботы (рис. 5). Наконечник сварочного узла (НСУ) подводится к различным местам кузова автомобиля, быстро и точно совершает необходимые действия. Требуется определить устойчивость по критерию Михайлова САУ позиционированием НСУ, структурная схема которой изображена на рис. 6.

Характеристическое уравнение данной САУ будет иметь вид [1]:

где K – варьируемый коэффициент усиления системы, a – определённая положительная константа.

Подставим в (12) численные значения: K = 40; a = 0,525.

Далее путём замены s на , получим функцию Михайлова:

Перед тем, как выделить вещественную и мнимую части, запишем (1) в несколько усовершенствованном виде, с целью универсального использования для различных порядков n:

где с – соответствующий постоянный коэффициент при определённом порядке частоты .

Применяя (15) к нашей задаче, получим:

Имея данные в виде (16) и (17), приступим к вышеупомянутому алгоритму построения годографа Михайлова с помощью «MathCad».

Шаг 1. Зададим диапазон индекса i:

Шаг 2. Определим исследуемый диапазон и шаг частоты (примем с частотным шагом 0,1):

Шаг 3. Введём вещественную (16) и мнимую (17) части характеристического уравнения:

Шаг 4. При выполнении вычислений (19), (20) и (21), формируются массивы значений частоты , вещественной и мнимой частей (рис. 7).

Шаг 5. Имея рассчитанные массивы значений и , подобно предыдущему примеру, построим частотную функцию Михайлова. После определения параметров графика, получим годограф, приведенный на рис. 8.

Рисунок 7 – Массивы значений , и , рассчитанные в «MathCad»

Рисунок 8 – Годограф Михайлова для САУ позиционированием НСУ

На основе анализа полученных данных, можно сделать вывод, что построенный годограф Михайлова, начинаясь на вещественной положительной оси, огибает в положительном направлении начало координат, проходя последовательно четыре квадранта, что соответствует порядку характеристического уравнения. Значит, данная САУ позиционированием НСУ – устойчива.

Что же касается анализа последних публикаций [2] и сравнения с лучшими аналогами [3], то необходимо отметить факт отсутствия подобной функции (построение годографа Михайлова) в пакете «MATLAB» [1, 4], который, обычно, используется для моделирования различных САУ, что, собственно, и послужило главной причиной создания данного алгоритма.

Перспективы развития данной работы заключаются в создании универсального инструмента для анализа комплексной частотной функции Михайлова, способного выполнить все вычисления уже на этапе задания характеристического уравнения, тем самым полностью автоматизируя этот процесс.

Таким образом, для достижения цели, в ходе написания исследования, была решена главная проблема – получение простого и наглядного инструмента для решения задач расчёта устойчивости САУ, что является обязательным условием работоспособности любого промышленного робота и манипулятора. Также были выполнены следующие задачи: сформирован алгоритм построения комплексной частотной функции Михайлова при помощи математического пакета «MathCad», выполнен анализ устойчивости САУ МПР по данному критерию, кроме того, – приведены практические примеры реализации данного алгоритма.

Список использованной литературы

1. Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 832 с.

2. Юревич Е.И. Основы робототехники 2-е издание / Е.И. Юревич. – С-Пб.: БХВ-Петербург, 2005. – 416 с.

3. Yim Y. Modular Robots / Y. Yim, Y. Zhang, D. Daff // IEEE SPECTRUM. – 2002. – # 2. – P. 30 – 34.

4. Олссон Г. Цифровые системы автоматизации и управления / Г. Олссон, Дж. Пиани. – С-Пб.: Невский Диалект, 2001. – 557 с.

Практическое построение годографа Михайлова

Для примера рассмотрим систему 4 ой степени:

.

Чтобы найти точки пересечения годографа с осями координат, необходимо приравнять нулю вещественную и мнимую части и найти частоты, при которых они равны нулю.

Построение годографа ведется в следующем порядке:

1. В характеристическом уравнении замкнутой системы производим замену на :

.

2. Из уравнения выделяем вещественную и мнимую части:

— уравнение вещественной части — ;

— уравнение мнимой части — .

3. Приравняем нулю мнимую часть и находим частоты, при которых годограф пересекается с вещественной осью (точки 1 и 3):

4. Полученные значения частоты подставим в уравнение вещественной части, получаем точки 1 и 3:

5. Приравняем нулю уравнение вещественной части, получаем частоты, при которых годограф пересекается с мнимой осью:

Введем новую переменную и получим квадратное уравнение:

Решим квадратное уравнение:

Найдем и (только положительные значения):

.

6. Полученные значения частоты подставим в уравнение мнимой части и находим точки 2 и 4:

.

7. Задаются промежуточными частотами и частотой , для которых находят значения вещественной и мнимой части:

8. Все расчеты сводятся в таблицу:

0.23 0.46 0.68 0.89 1.2 1.51 1.6
0.74 -0.88 -1.71 -2.1 1,31
0.86 1.35 1.15 -3.84 -11.17 -14,08

9. По данным таблицы строится годограф (рисунок 1).

10. Вывод: Система устойчива, т.к. вектор годографа Михайлова начинает свое движение с положительной вещественной полуоси, вращается против часовой стрелки, нигде не обращается в ноль и обходит последовательно 4 квадранта комплексной плоскости.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: