Применение криволинейных интегралов в физике - ABCD42.RU

Применение криволинейных интегралов в физике

Применение криволинейных интегралов в физике

Центр масс и моменты инерции кривой;

Работа при перемещении тела в силовом поле;

Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);

Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой (C,) а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности (rho left( right).) Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами [bar x = frac<<>>>,;;bar y = frac<<>>>,;;bar z = frac<<>>>,] где [ <> = intlimits_C right)ds> ,>;; <> = intlimits_C right)ds> ,>;; <> = intlimits_C right)ds> > ] − так называемые моменты первого порядка .

Моменты инерции относительно осей (Ox, Oy) и (Oz) определяются формулами [ <= intlimits_C + > right)rho left( right)ds> ,>;; <= intlimits_C + > right)rho left( right)ds> ,>;; <= intlimits_C + > right)rho left( right)ds> .> ]

Работа при перемещении тела в силовом поле (mathbf) вдоль кривой (C) выражается через криволинейный интеграл второго рода [W = intlimits_C cdot dmathbf> ,] где (mathbf) − сила, действующая на тело, (dmathbf) − единичный касательный вектор (рисунок (1)). Обозначение ( cdot dmathbf>) означает скалярное произведение векторов (mathbf) и (dmathbf.)

Заметим, что силовое поле (mathbf) не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы (mathbf) иногда может оказаться отрицательной.

Если векторное поле задано в координатной форме в виде [mathbf = left( right),Qleft( right),Rleft( right)> right),] то работа поля вычисляется по формуле [W = intlimits_C cdot dmathbf> = intlimits_C .] В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой (C) в плоскости (Oxy,) справедлива формула [W = intlimits_C cdot dmathbf> = intlimits_C ,] где (mathbf = left( right),Qleft( right)> right).)

Если векторное поле (mathbf) потенциально , то работа по перемещению тела из точки (A) в точку (B) выражается формулой [W = uleft( B right) — uleft( A right),] где (uleft( right)) − потенциал поля.

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией (mathbf) вдоль замкнутого контура (C) пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром (C) (рисунок (2)). Это выражается формулой [intlimits_C cdot dmathbf> = I,] где () − магнитная проницаемость ваккуума , равная (1,26 times <10^< - 6>>,text<Н/м>.)

Очевидно, в силу симметрии, (bar y = 0.) Чтобы найти координату центра масс (bar x,) достаточно рассмотреть верхнюю половину кардиоиды.

(C) − отрезок прямой (y = x;)

(C) − кривая (y = sqrt x.)

Согласно закону Фарадея [varepsilon = ointlimits_C = — frac<><

>.] Поскольку проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли, возникает изменение магнитного потока (psi,) проходящего через кольцо.

Предположим, что магнитное поле (mathbf) перпендикулярно плоскости кольца. Тогда за время (Delta t) изменение потока равно [Delta psi = 2rBx = 2rBvDelta t,] где (x = vDelta t,) (v) − скорость самолета, (B) − индукция магнитного поля Земли. Из последнего выражения получаем [varepsilon = — frac<><

> = 2rBv.] Подставляя заданные величины [v = 900,text <км/ч>= 250,text<м/с>,;;r = 1,text <см>= 0,01,text<м>,;;B = 5 times <10^< - 5>>,text,] находим значение э.д.с.: [varepsilon = 2rBv = 2 cdot 0,01 cdot 5 times <10^< - 5>> cdot 250 = 0,00025,text<В>.] Как видно, это вполне безопасно для авиапассажиров.

Напряженность возникающего электрического поля найдем по формуле (varepsilon = intlimits_C cdot dmathbf> .) В силу симметрии, наведенное электрическое поле будет иметь постоянную амплитуду в любой точке кольца. Оно будет направлено по касательной к кольцу в любой его точке. Это позволяет легко вычислить криволинейный интеграл. [varepsilon = ointlimits_C cdot dmathbf> = ointlimits_C = Eointlimits_C = 2pi rE.] Следовательно, напряженность электрического поля равна [E = frac<<2pi r>> = frac<<0,00025>><<2pi cdot 0,01>> = 0,004,text<В/м>.]

Реферат: Применение криволинейных интегралов в физике

Л екция 10.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление.

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму . Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой.

Определение 10.1. Если существует конечный предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается

. (10.1)

Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (10.1) равен массе рассматриваемой кривой.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

1. Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл существует.

2. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то

(10.2)

Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.

Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

,

где — координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для определен-ного интеграла Следовательно,

= (10.3)

Если же кривая L задана в параметрической форме:

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T,

то, применяя в интеграле (10.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

(10.4)

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

Вычислить где L: Применяя формулу (10.4), получим:

Криволинейный интеграл второго рода.

Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана функция f(M), и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом отрезке точку Mi и умножим значе-ние функции в этой точке не на длину i-го отрезка, как в случае криволинейного инте-грала 1-го рода, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi – xi-1 = Δxi. Составим из полученных произведений интегральную сумму .

Определение 10.2. Если существует конечный предел при интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

. (10.5)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

Определение 10.3. Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),

Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы

,

то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

. (10.6)

Замечание. Если считать, что сила действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

Читайте также  Планирование семьи и репродуктивное здоровье

,

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).

1. При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

(10.7)

Действительно, при этом изменяется знак Δxi в интегральной сумме.

Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.

Теорема 10.1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (10.5) существует и имеет место равенство

. (10.8)

Запишем Δxi = xi – xi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа: φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некоторое значение t, заключенное между ti-1 и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному τi : Mi(φ(τi), ψ(τi), χ(τi)). Подставив эти значения в формулу (10.5), получим:

.

Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α, β], равный определенному интегралу от этой функции:

,

что и требовалось доказать.

Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегра-лов вида , откуда следует, что

(10.9)

Вычислим интеграл , где L – отрезок прямой от точки А(1,2,-2) до точки В(0, -1, 0). Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде:

Следовательно, φ΄(t) = -1, ψ΄(t) = -3, χ΄(t) = 2. Тогда

Применение интеграла для описания физических процессов. 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Тема и номер урока в теме: «Определенный интеграл» урок № 5 (из 6, отведенных на изучение данной темы).

Базовый учебник: Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 11 кл./ А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. /М: Мнемозина, 2013.

Задачник: Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 11. / А.Г.Мордкович и др. /М.: Мнемозина, 2013.

Цель урока: дать представление о возможностях применения интеграла в физике.

Формируемые предметные результаты: познакомиться с применением интеграла для решения физических задач.

Формируемые метапредметные результаты:

  • личностные универсальные учебные действия: формирование устойчивой мотивации к обучению, познавательного интереса; расширение кругозора.
  • регулятивные универсальные учебные действия: уметь выделять математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах в окружающей жизни, самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем, уметь действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, контролировать процесс и результат учебной деятельности
  • познавательные универсальные учебные действия: уметь ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного, структурировать знания, преобразовывать информацию);

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Необходимое техническое оборудование: мультимедийный проектор, презентация или интерактивная доска с заготовками таблиц и заданий.

Структура и ход урока

I. Организационный момент. Приветствие, настрой на урок.

II. Проверка домашнего задания (обсуждение решения заданий, вызвавших затруднения)

III. Формулирование темы и цели урока.

— Какие применения интеграла вам уже известны? (Для введения понятия определенного интеграла мы рассмотрели три задачи, приводящие к этому понятию: вычисление площади криволинейной трапеции, вычисление массы стержня и вычисление перемещения точки за определенный промежуток времени. Таким образом, нам уже знакомы три примера применения интеграла в геометрии и физике. На прошлом занятии познакомились с применением интеграла для вычисления объемов геометрических тел).

— Однако, область применения интеграла этим не ограничивается. И цель урока — познакомиться с широким спектром применения интеграла в физике. Итак, запишите тему урока: «Применение интеграла для описания физических процессов».

IV. Изучение нового материала (подводящий диалог)

— Назовите, пожалуйста, действие, обратное интегрированию. (Дифференцирование, т.е. вычисление производной).

— Изучая некоторые применения производной в физике и технике, мы с вами составили обобщающую таблицу. Давайте вспомним её (рассматривают таблицу, заготовленную на слайде или на доске):

Величины

Физическая зависимость в простейшем случае

Вычисление производной

A – работа,
F – сила,
N – мощность,
x – пройденный путь,
t – время.

m – масса тонкого стержня,
ρ — линейная плотность,
x – линейный размер.

q – электрический заряд,
I – сила тока,
t – время.

S – перемещение,
v – скорость,
t – время.

Q – количество теплоты;
с – теплоемкость,
t – температура.

— Во всех этих случаях по заданной F(x) находили f(x) по формуле

— А теперь вернемся к интегралу. С каким действием ассоциируется у вас вычисление интеграла? (Вычисление первообразной)

— Верно, а вычисление первообразной – это восстановление функции по заданной производной. Т.е. по заданной f(x) находят F(x) по формуле

.

Следовательно, если переменная сила F (х)– это производная работы А по координате x, то как, по вашему, можно вычислить работу переменной силы по перемещению тела из положения х = а в точку с координатой х = в? (Как определенный интеграл .)

— Добавим в нашей таблице ещё один столбец справа, куда будем записывать формулы для вычисления величин с помощью определенного интеграла, и запишем туда эту формулу.
— Как же тогда связать работу и мощность? (Высказываются предположения, записывается формула ).

— Заполните остальные строки таблицы самостоятельно. (Самостоятельная работа учащихся с последующей самопроверкой. Формулу для вычисления координаты центра масс тонкого стержня учитель сообщает после проверки и учащиеся вписывают её.)

Величины

Физическая зависимость в простейшем случае

Вычисление производной

Вычисление интеграла

A – работа,
F – сила,
N – мощность,
x – пройденный путь,
t – время.

Решение задач физики и техники с применением интеграла

п.1. От ускорения к скорости и координате

Рассматривая применение производной в физике и технике (см. §51 данного справочника), мы во второй производной от уравнения прямолинейного равномерного движения (x(t)) пришли к постоянному ускорению (a=const).
С помощью интегрирования можно пройти обратный путь.
Начнем с постоянного ускорения (a=const).
Интеграл от ускорения по времени – это скорость: $$ v(t)=int adt=aint dt=at+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования (C) в этом случае – начальная скорость (v_0). Получаем: $$ v(t)=at+v_0 $$ Интеграл от скорости по времени – это координата: $$ x(t)=int v(t)dt=int (at+v_0)dt=frac<2>+v_0 t+C $$ Физический смысл постоянной интегрирования (C) в этом случае – начальная координата (x_0). Получаем: $$ x(t)=frac<2>+v_0 t+x_0 $$ Таким образом, если нам известны ускорение (a), начальная скорость (v_0) и начальная координата (x_0), мы всегда сможем получить уравнение движения (x(t)).

п.2. Физические величины как интегралы других величин

Если (v(t)) — скорость некоторого физического процесса, уравнение этого процесса можно найти интегрированием: $$ f(t)=int v(t)dt $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

Скорость (v(t)=int a(t)dt)

Координата (x(t)=int v(t)dt)

Угловое ускорение (beta(t))

Угловая скорость (omega(t)=int beta(t) dt)

Угловая скорость (omega(t))

Угол поворота (varphi(t)=intomega(t)dt)

Скорость расходования горючего (u(t))

Масса горючего ракеты (m(t)=int u(t)dt)

Заряд (q(t)=int I(t)dt)

Работа (A(t)=int N(t)dt)

ЭДС индукции (varepsilon(t))

Магнитный поток (Ф(t)=-intvarepsilon(t)dt)

Читайте также  Тайны египетских пирамид

Скорость радиоактивного распада (I(t))

Число атомов радиоактивного вещества (N(t)=int I(t)dt)

Берутся интегралы и по другим переменным. Например, чтобы найти работу переменной силы (F(x)), нужно взять интеграл по координате: $$ A=int_^F(x)dx $$ В трехмерном пространстве интегралы могут браться по всем трем координатам.
При решении уравнений в частных производных интегралы берутся и по времени и по координатам.

В современной физике интеграл по времени берётся также и от самого уравнение движения. Полученная скалярная величина называется действием и носит фундаментальный характер. В простейшем случае: $$ S_0=int overrightarrow

cdot overrightarrowdt $$ где (overrightarrow

cdot overrightarrow) — скалярное произведение векторов импульса и скорости.

п.3. Примеры

Пример 1. Тело движется со скоростью (v(t)) (м/с). Найдите путь, пройденный за промежуток времени от (t_1) до (t_2) (с):
a) (v(t)=3t+2t^2, t_1=0, t_2=6)
Путь: begin s(t)=int_^v(t)dt\ s=int_<0>^<6>(3t+2t^2)dt=left(frac<3t^2><2>+frac<2t^3><3>right)|_<0>^<6>=frac<3cdot 36><2>+frac<2cdot 36cdot 6><3>-0=\ =3cdot 18+4cdot 36=54+144=198 text <(м)>end
б) (v(t)=2(t+2)^<5/2>, t_1=0, t_2=7) begin s=int_<0>^<7>2(t+2)^<5/2>dt =2cdotfrac<(t+2)^>|_<0>^<7>=frac47cdot 9^-0=frac47cdot 3^7approx 1250 text <(м)>end

Пример 2. . Сила тока в проводнике изменяется по закону (I(t)=e^<-t>+2t) (время в секундах, ток в амперах). Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника за время от второй до шестой секунды?
Заряд: begin Q(t)=int_^I(t)dt end По условию: begin Q=int_<2>^<6>(e^<-t>+2t)dt=(-e^<-t>+t^2)|_<2>^<6>=-e^<-6>+6^2+e^<-2>-2^2=frac<1>-frac<1>+32=\ =frac+32approx 32,1 text <(Кл)>end

Пример 3*. Найдите путь, который пройдет тело от начала движения до возвращения в исходную точку, если его скорость (v(t)=18t-9t^2) (время в секундах, скорость в м/с). Движение тела прямолинейное.

Если тело вернулось в исходную точку, оно меняло направление движения.
В момент разворота скорость равна нулю. Решаем уравнение: $$ 18t-9t^2=0Rightarrow 9t(2-t)=0Rightarrow left[ begin t=0\ t=2 end right. $$ (t=0) – начало движения, (t=2) — разворот.

Ответ: 24 м

Пример 4*. Найдите работу, которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из полусферического котла радиуса R м.


Найдем работу (dA), которую нужно совершить, чтобы выкачать слой воды толщиной (dH) с глубины (H).
Радиус слоя на глубине (H: r^2=R^2-H^2) — по теореме Пифагора.
Объем слоя воды: (dV=pi r^2 dH=pi(R^2-H^2)dH)
Масса слоя воды: (dm=rho dV=pirho(R^2-H^2)dH)
Работа по подъему слоя на высоту (H): $$ dA=dmcdot gH=pirho gH(R^2-H^2)dH $$ Получаем интеграл: begin A=int_<0>^dA=int_<0>^pirho gH(R^2-H^2)dH=pirho gint_<0>^(HR^2-H^3)dH=\ =pirho gleft(frac<2>R^2-frac<4>right)|_<0>^=pirho gleft(frac<2>-frac<4>-0right)=fracpi 4=rho gR^4 end Ответ: (A=fracpi 4=rho gR^4)

Пример 5*. Какую работу выполняют при запуске ракеты массой m кг с поверхности планеты на высоту h м, если радиус планеты равен R м и масса планеты равна M кг?
Сравните работу при запуске ракеты с Земли и Луны на высоту одного радиуса небесного тела, если ускорение свободного падения на поверхности Луны (g_M=1,62) м/с 2 , радиус Луны (R_M=1737) км; для Земли соответственно (g_E=9,81) м/с 2 (R_E=6371) км.

Ускорение свободного падения на поверхности планеты: (g_0=Gfrac)
Ускорение свободного падения при подъеме на высоту x: begin g(x)=Gfrac <(R+x)^2>end Работа по преодолению силы тяжести (F(x)=mg(x)) при подъеме ракеты на высоту h: begin A=int_<0>^mg(x)dx=mint_<0>^Gfrac<(R+x)^2>dx=GmMint_<0>^frac<(R+x^2)>=\ =GmMcdotleft(-frac<1>right)|_<0>^=GmMcdotleft(-frac<1>+frac1Rright)=GmMleft(frac1R-frac<1>right)=\ =GmMfrac=GmMfrac end Также, если выразить работу через ускорение свободного падения на поверхности планеты: $$ A=fracfrac=mg_0frac


$$ Работа по запуску на высоту одного радиуса небесного тела (h=R): $$ A(R)=mg_0frac<2R>=frac <2>$$ Отношение работ по запуску на один радиус на Земле и Луне: $$ frac=frac=frac, frac=frac<9,81cdot 6371><1,62cdot 1737>approx 22,2 $$ На Земле работа в 22,2 раза больше.

Применение криволинейных интегралов в физике

Л екция 10.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление.

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму . Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой.

Определение 10.1. Если существует конечный предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается

Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (10.1) равен массе рассматриваемой кривой.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл существует.

Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то

Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.

Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

где — координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для определен-ного интеграла Следовательно,

Если же кривая L задана в параметрической форме:

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T,

то, применяя в интеграле (10.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

Вычислить где L: Применяя формулу (10.4), получим:

Криволинейный интеграл второго рода.

Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана функция f(M), и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом отрезке точку Mi и умножим значе-ние функции в этой точке не на длину i-го отрезка, как в случае криволинейного инте-грала 1-го рода, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi – xi-1 = Δxi. Составим из полученных произведений интегральную сумму .

Определение 10.2. Если существует конечный предел при интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

Определение 10.3. Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),

Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы

то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

Замечание. Если считать, что сила действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).

Читайте также  Построение диаграмм в программе Excel

При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

Действительно, при этом изменяется знак Δxi в интегральной сумме.

Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.

Теорема 10.1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (10.5) существует и имеет место равенство

Запишем Δxi = xi – xi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа: φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некоторое значение t, заключенное между ti-1 и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному τi : Mi(φ(τi), ψ(τi), χ(τi)). Подставив эти значения в формулу (10.5), получим:

Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α, β], равный определенному интегралу от этой функции:

что и требовалось доказать.

Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегра-лов вида , откуда следует, что

Вычислим интеграл , где L – отрезок прямой от точки А(1,2,-2) до точки В(0, -1, 0). Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде:

Следовательно, φ΄(t) = -1, ψ΄(t) = -3, χ΄(t) = 2. Тогда

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: