Призма и параллелепипед - ABCD42.RU

Призма и параллелепипед

Многогранники: призма, параллелепипед, куб

Определение

Многогранником будем называть замкнутую поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторую часть пространства.

Отрезки, являющиеся сторонами этих многоугольников, называются ребрами многогранника, а сами многоугольники – гранями. Вершины многоугольников называются вершинами многогранника.

Будем рассматривать только выпуклые многогранники (это такой многогранник, который находится по одну сторону от каждой плоскости, содержащей его грань).

Многоугольники, из которых составлен многогранник, образуют его поверхность. Часть пространства, которую ограничивает данный многогранник, называется его внутренностью.

Определение: призма

Рассмотрим два равных многоугольника (A_1A_2A_3. A_n) и (B_1B_2B_3. B_n) , находящихся в параллельных плоскостях так, что отрезки (A_1B_1, A_2B_2, . A_nB_n) параллельны. Многогранник, образованный многоугольниками (A_1A_2A_3. A_n) и (B_1B_2B_3. B_n) , а также параллелограммами (A_1B_1B_2A_2, A_2B_2B_3A_3, . ) , называется ( (n) -угольной) призмой.

Многоугольники (A_1A_2A_3. A_n) и (B_1B_2B_3. B_n) называются основаниями призмы, параллелограммы (A_1B_1B_2A_2, A_2B_2B_3A_3, . ) – боковыми гранями, отрезки (A_1B_1, A_2B_2, . A_nB_n) – боковыми ребрами.
Таким образом, боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.

Рассмотрим пример — призма (A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5) , в основании которой лежит выпуклый пятиугольник.

Высота призмы – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания.

Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (рис. 1), в противном случае – прямой. У прямой призмы боковые ребра являются высотами, а боковые грани – равными прямоугольниками.

Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

Определение: понятие объема

Единица измерения объема – единичный куб (куб размерами (1times1times1) ед (^3) , где ед — некоторая единица измерения).

Можно сказать, что объем многогранника – это величина пространства, которую ограничивает этот многогранник. Иначе: это величина, числовое значение которой показывает, сколько раз единичный куб и его части вмещаются в данный многогранник.

Объем имеет те же свойства, что и площадь:

1. Объемы равных фигур равны.

2. Если многогранник составлен из нескольких непересекающихся многогранников, то его объем равен сумме объемов этих многогранников.

3. Объем – величина неотрицательная.

4. Объем измеряется в см (^3) (кубические сантиметры), м (^3) (кубические метры) и т.д.

Теорема

1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Площадь боковой поверхности — сумма площадей боковых граней призмы.

2. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы: [V_>=S_>cdot h]

Определение: параллелепипед

Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Все грани параллелепипеда (их (6) : (4) боковые грани и (2) основания) представляют собой параллелограммы, причем противоположные грани (параллельные друг другу) представляют собой равные параллелограммы (рис. 2).

Диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две вершины параллелепипеда, не лежащие в одной грани (их (8) : (AC_1, A_1C, BD_1, B_1D) и т.д.).

Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник.
Т.к. это прямой параллелепипед, то боковые грани представляют собой прямоугольники. Значит, вообще все грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники.

Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны (это следует из равенства треугольников (triangle ACC_1=triangle AA_1C=triangle BDD_1=triangle BB_1D) и т.д.).

Замечание

Таким образом, параллелепипед обладает всеми свойствами призмы.

Теорема

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна [S_>=2(a+b)c]

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна [S_>=2(ab+ac+bc)]

Теорема

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его ребер, выходящих из одной вершины (три измерения прямоугольного параллелепипеда): [V_>=abc]

Доказательство

Т.к. у прямоугольного параллелепипеда боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами, то есть (h=AA_1=c) Т.к. в основании лежит прямоугольник, то (S_>=ABcdot AD=ab) . Отсюда и следует данная формула.

Теорема

Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле (где (a,b,c) — измерения параллелепипеда) [d^2=a^2+b^2+c^2]

Доказательство

Рассмотрим рис. 3. Т.к. в основании лежит прямоугольник, то (triangle ABD) – прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора (BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2) .

Т.к. все боковые ребра перпендикулярны основаниям, то (BB_1perp (ABC) Rightarrow BB_1) перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, т.е. (BB_1perp BD) . Значит, (triangle BB_1D) – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора (B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2) , чтд.

Определение: куб

Куб — это прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты.

Таким образом, три измерения равны между собой: (a=b=c) . Значит, верны следующие

Теоремы

1. Объем куба с ребром (a) равен (V_>=a^3) .

2. Диагональ куба ищется по формуле (d=asqrt3) .

3. Площадь полной поверхности куба (S_>=6a^2) .

Многогранники. Призма, параллелепипед, пирамида

Многогранники. Выпуклый многогранник. Призма.

Прямая, наклонная и правильная призма. Параллелепипед.

Прямой и прямоугольный параллелепипед, куб. Пирамида.

Тетраэдр. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.

Многогранник – это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей (многоугольников ). Эти многоугольники называются гранями, их стороны –рёбрами, их вершины – вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник – выпуклый, если все его диагонали расположены внутри него.

Призма – это многогранник ( рис.79 ), две грани которой ABCDE и abcde (основания призмы ) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани ( AabB, BbcC и т.д. ) — параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой ( Aa, или Bb, илиCc и т.д. ). Параллелограммы AabB, BbcC и т.д. называются боковыми гранями; рёбра Aa, Bb, Cc и т.д. называются боковыми рёбрами. Высота призмы – это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае – это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной. На рис.79 показана наклонная призма.

Параллелепипед — это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда

четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в нейпополам. Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением: d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все рёбра куба равны.

Пирамида – это многогранник, у которого одна грань ( основание пирамиды) – это произвольный многоугольник ( ABCDE, рис.80 ), а остальные грани ( боковые грани ) – треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на еёоснование, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т.д. Треугольная пирамида является тетраэдром (четырёхгранником ), четырёхугольная – пятигранником и т.д. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник,а её высота падает в центр основания. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны; все боковые грани – равнобедренные треугольники. Высота боковой грани (SF) называется апофемой правильной пирамиды.

Читайте также  Сестринский процес при ожирении

Если провести сечение abcde, параллельное основанию ABCDE ( рис.81 ) пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные граниABCDE и abcde называются основаниями; расстояние Oo между ними –высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная. Все боковые грани правильной усечённой пирамиды – равные равнобочные трапеции. Высота Ff боковой грани ( рис.81 ) называется апофемой правильной усечённой пирамиды.

Цилиндр

Цилиндрическая поверхность. Направляющая и образующие.

Цилиндр: прямой, наклонный, круговой, круглый.

Цилиндрические сечения: круг, параллельные прямые, эллипс.

Цилиндрическая поверхность образуется при движении прямой ( AB, рис.82 ), сохраняющей своё направление и пересекающейся с заданной линией (кривой) MN. Линия MN называется направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой AB при её движении (A’B’, A”B” и т.д., рис.82 ), называются образующими цилиндрической поверхности.

Цилиндр. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, называетсяцилиндром ( рис.83 ). Части этих плоскостей ( ABCDEFG и abcdefg ) называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями (KM, рис.83 ) – высота цилиндра. Цилиндр – прямой, если его образующие перпендикулярны основанию; в противном случае цилиндр –наклонный. Цилиндр называется круговым, если его основание – круг. Если цилиндр является одновременно и прямым, и круговым, то он называется круглым. Призма является частным случаем цилиндра (почему ? ).

Цилиндрические сечения боковой поверхностикругового цилиндра(рис.84). Сечения, параллельные основанию — круги того же радиуса. Сечения, параллельные образующим цилиндра — пары параллельных прямых ( AB || CD ). Сечения, которые не параллельны ни основанию, ни образующим — эллипсы.

Конус

Коническая поверхность. Направляющая и образующие.

Конус: круговой, круглый. Конические сечения: круг, эллипс,

парабола, гипербола, пара пересекающихся прямых.

Коническая поверхность образуется при движении прямой (AB, рис.85),проходящей всё время через неподвижную точку (S), и пересекающей за данную линию MN, называемую направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой AB при её движении ( A’B’, A”B” и т.д. ),называются образующими конической поверхности; точка S – её вершиной.Коническая поверхность состоит из двух частей: одна описывается лучом SA, другая – его продолжением SB. Обычно в качестве конической поверхности рассматривают одну из её частей.

Конус – это тело, ограниченное одной из частей конической поверхности сзамкнутой направляющей и пересекающей коническую поверхность плоскостью ( ABCDEF, рис.86 ), не проходящей через вершину S. Часть этой плоскости, расположенной внутри конической поверхности, называетсяоснованием конуса. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины S на основание, называется высотой конуса. Пирамида является частным случаем конуса ( почему ? ). Конус называется круговым, если его основанием является круг. Прямая SO, соединяющая вершину конуса с центром основания, называется осью конуса. Если высота кругового конуса совпадает с его осью, то такой конус называется круглым.

Конические сечения. Сечения кругового конуса, параллельные его основанию — круги. Сечение, пересекающее только одну часть кругового конусаи не параллельное ни одной его образующей — эллипс ( рис.87 ). Сечение, пересекающее только одну часть кругового конусаи параллельное одной из его образующих — парабола ( рис.88 ). Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей ( рис.89 ).В частности, если это сечение проходитчерез ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых(образующих конуса).

Конические сечения представляют большой интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении. Так, они широко используются в технике ( эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны ); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам.

Шар ( сфера )

Сферическая поверхность. Шар (сфера). Сечения шара: круги.

Теорема Архимеда. Части шара:шаровой (сферический) сегмент,

шаровой слой, шаровой пояс, шаровой сектор.

Сферическая поверхность – это геометрическое место точек ( т.е. множество всех точек ) в пространстве, равноудалённых от одной точки O, которая называется центром сферической поверхности ( рис.90). Радиус AO и диаметр AB определяются так же, как и в окружности.

Шар ( сфера ) — это тело, ограниченное сферической поверхностью. Можнополучить шар, вращая полукруг ( или круг ) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара – круги ( рис.90 ). Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара ( AB, рис.91 ). Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра ( A и B, рис.91 ), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Объём шара в полтора раза меньше объёма описанного вокруг него цилиндра ( рис.92 ), а поверхность шара в полтора раза меньше полной поверхности того же цилиндра ( теорема Архимеда ):

Здесь S шара и V шара — соответственно поверхность и объём шара;

S цил и Vцил полная поверхность и объём описанного цилиндра.

Части шара. Часть шара ( сферы ), отсекаемая от него какой-либо плоскостью ( ABC, рис.93 ), называется шаровым ( сферическим )сегментом. Круг ABC называется основанием шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, называется высотойшарового сегмента. Точка M называется вершиной шарового сегмента.

Часть сферы, заключённая между двумя параллельными плоскостямиABC и DEF, пересекающими сферическую поверхность ( рис.93 ),называется шаровым слоем;кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом ( зоной ).КругиABC и DEF – основанияшарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – еговысота. Часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента ( AMCB, рис.93 ) и конической поверхностью OABC, основанием которой служит основание сегмента ( ABC ), а вершиной – центр шара O, называется шаровым сектором.

Разработка урока по геометрии «Призма. Параллелепипед»
методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме

Разработка урока по геометрии на тему «Призма. Параллелепипед» для 11 класса содержит в себе повторение формул планиметрии 9 класса (площади фигур), решение простейших тестовых задач — как математический тренажер, а также самостоятельную тестовую работу, которая позволит взаимопроверить и оценить учащихся. Урок нацелен на подготовку к Единому Национальному тестированию.

Скачать:

Вложение Размер
razrabotka_uroka_po_geometrii_11_klass_dilmagambetovoy_s.n.doc 83 КБ

Предварительный просмотр:

Геометрия 11 класс

Тема урока: Призма, параллелепипед.

Дильмагамбетова Салтанат Нуркебаевна –

учитель математики высшей категории

Мартукской средней школы №1,

Тип урока: закрепление, решение задач.

Цель урока: обобщить понятие параллелепипеда и призмы; научить применять формулы площадей (полной и боковой) поверхностей и объема при решении задач на ЕНТ.

Оборудование: интерактивная доска, карточки с самостоятельной работой

  1. Оргмомент
  2. Фронтальный опрос
  3. Решение устной задачи
  4. Решение тестовых задач (математический тренажер)
  5. Самостоятельная тестовая работа (с проверкой)
  6. Итоги урока
  7. Домашнее задание
  1. Призма (определение)

(Многогранник, который состоит из двух равных многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях и всех отрезков, соединяющих вершины многоугольника)

  1. Параллелепипед (определение)

(Призма, в основании которой лежит четырехугольник)

  1. Прямоугольный параллелепипед (определение)

(Параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник)

  1. Прямая призма (определение)

(Призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию)

  1. Диагональ призмы (определение)

(Отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани)

  1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда

( Квадратный корень из суммы квадратов трех его линейных размеров )

  1. Высота призмы (Расстояние между двумя основаниями)
  2. Диагональное сечение (Сечение, проведенное через диагонали)
  3. Площадь боковой поверхности

(Сумма площадей боковых граней или произведение периметра основания на высоту )

10. Площадь полной поверхности

(Сумма площади боковой поверхности и площадей основания )

  1. Объем прямоугольного параллелепипеда

(Произведение трех его линейных размеров V=abc)

(Произведение площади основания на высоту )

Перечислите формулы вычисления площадей изображенных фигур :

Работа по чертежу

Обозначьте (АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 )

АС 1 ; ВД 1 ; А 1 С; В 1 Д.

ребра АА 1 ; ВВ 1 ; СС 1 ; ДД 1.

(АВВ 1 А 1 ); (ВВ 1 С 1 С); (АДД 1 А 1 ); (СС 1 Д 1 Д)

основания. (АВСД) и (А 1 В 1 С 1 Д 1 )

Постройте диагональное сечение

(АСС 1 А 1 или ВДД 1 В 1 )

Решение устной задачи:

1. Диагональ параллелепипеда (7см)

2. Площадь диагонального сечения )

3. Боковую поверхность параллелепипеда

4. Полную поверхность

Решение тестовых задач:

1. Площадь большей боковой грани прямой призмы, в основании которой

прямоугольный треугольник равна 208 см . Определите объём призмы, если катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.

A) 460 см B) 520 см C) 546 см D) 508см E) 480 см

2. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 2520 см , площадь основания 168 см , и длина на 2 см больше ширины. Найдите сумму длин всех рёбер

A) 158 см B) 164 см C) 146 см D) 182 см E) 176 см

3. В основании прямой призмы ромб с диагоналями 16см и 30см. Определить площадь боковой поверхности призмы, если ее объем 4800 см 3 .

A) 1360 см B) 1440 см C) 1250 см D) 1350 см E) 1420 см

Самостоятельная тестовая работа

1. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 13см. Ширина на 5см меньше длины. Найдите наименьшую из сторон основания, если объем параллелепипеда равен 1092см 3 .

А.6см. В.8см. С.7см. Д.11см. Е. 9см

2. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14см. Найдите диагональ призмы.

А. 16см. В. 18см. С.22см. Д.11см. Е.19см

3. В прямом параллелепипеде стороны основания 6м и 8м образуют угол 30 0 ; боковое ребро равно 5м. Найдите полную поверхность параллелепипеда.

А.192см 2 . В.108см 2 . С.310см 2 .Д.924см 2 .Е.188см 2 .

1. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 16см. Ширина на 6см меньше длины. Найдите большую сторону параллелепипеда, если объем равен 880см 3 .

А.10см. В.13см. С.12см. Д.11см Е.15см.

2. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12м 2 . Найдите высоту.

А. 6м. В. 2м. С.3м. Д.4м. Е.5м.

3. Определите объем прямой призмы, в основании которой треугольник со сторонами 13см. 14см. 15см. Площадь боковой поверхности призмы равна 462см 2 .

А.960см 3 . В.1088см 3 . С.1044см 3 .Д.924см 3 .Е.988см 3 .

1. С (7см); 2. С (22см); 3. Е. (188 см 2 ) 1. Д.(11см). 2. С (3см). Д. (924см 3 ).

Параллелепипед

Параллелепи́пед (от греч. παράλλος — параллельный и греч. επιπεδον — плоскость) — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

Содержание

Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

  • Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;
  • Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники;
  • Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основания
  • Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

  • Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
  • Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
  • Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
  • Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sбо*h, где Ро — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности Sп=Sб+2Sо, где Sо — площадь основания

Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности Sб=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности Sп=2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Площадь боковой поверхности Sб=4a², где а — ребро куба

Площадь полной поверхности Sп=6a²

Произвольный параллелепипед

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллалепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения [1] :215 .

В математическом анализе

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом понимают множество точек вида

Примечания

  1. Гусятников П.Б., Резниченко С.В.Векторная алгебра в примерах и задачах. — М .: Высшая школа, 1985. — 232 с.

Ссылки

Параллелепипед на Викискладе ?

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • ГОСТ
  • Литературная Россия (газета)

Смотреть что такое «Параллелепипед» в других словарях:

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — греч., от parallelos., параллельный, и epidon, поверхность. Четырехсторонняя призма, у которой противоположные стороны параллельны между собой. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней.… … Словарь иностранных слов русского языка

Параллелепипед — Параллелепипед. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД (от греческого parallelos параллельный и epipedon плоскость), призма, основание которой параллелограмм. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

параллелепипед — призма, ромбоэдр, шестигранник Словарь русских синонимов. параллелепипед сущ., кол во синонимов: 4 • многогранник (38) • … Словарь синонимов

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — (от греч. parallelos параллельный и epipedon плоскость) призма, основанием которой служит параллелограмм … Большой Энциклопедический словарь

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, параллелепипеда, муж. (от греч. parallelos параллельный и epipedon поверхность) (мат.). Шестигранник, у которого противоположные грани равны и параллельны. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, а, муж. В математике: призма, основанием к рой служит параллелограмм. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Параллелепипед — шестигранник, каждая пара противоположных гранейкоторого суть параллелограммы равной величины и параллельные междусобой … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

параллелепипед — а, м. parallélépipède m. <гр. parallelos + epidepon плоскость. геом. Шестигранник, сторонами которого являются параллелограммы. Крысин 1998. Цвет его <сапфира> лазуревой, сложение листоватое; представляет шести или многоугольную призьму … Исторический словарь галлицизмов русского языка

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — призма, основанием которой является (см.) … Большая политехническая энциклопедия

Параллелепипед — (греч. parallelepípedon, от parállelos параллельный и epípedon плоскость) шестигранник, противоположные грани которого попарно параллельны. П. имеет 8 вершин, 12 рёбер; его грани представляют собой попарно равные параллелограммы. П.… … Большая советская энциклопедия

Разработка урока на тему : » Призма. Параллелепипед»

Разработка урока по геометрии для 9 класса.

Просмотр содержимого документа
«Разработка урока на тему : » Призма. Параллелепипед»»

Призма. Параллелепипед

Цели: ввести понятие призмы и ее элементов; дать определение прямой и наклонной призмы, определение высоты призмы; ввести понятие параллелепипеда, понятие прямого и прямоугольного параллелепипеда; научить строить призмы и параллелепипеды.

I. Устная работа.

Проверить усвоение предшествующего материала в процессе решения устных задач по готовым чертежам на доске и с использованием моделей геометрических тел.

Ответить на вопросы:

1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

2. Что рассматривается в стереометрии?

3. Какие поверхности называются многогранниками? Приведите примеры простейших многогранников.

4. Какая плоскость называется секущей плоскостью геометрического тела?

5. Что называется сечением тела?

6. Объясните, что такое многогранник; что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры многогранников.

Учитель показывает модели различных геометрических тел и многогранников, а учащиеся должны назвать их.

II. Объяснение нового материала.

1. Используя рисунок учебника (рис. 341, с. 311), учитель объясняет построение многогранника, называемого призмой.

2. В тетрадях ученики записывают определения:

1) две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек;

2) две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Ввести определение n-угольной призмы, оснований призмы, боковых ребер призмы.

4. Призмы бывают прямыми и наклонными.

Введем понятие перпендикулярности прямой и плоскости, используя рисунок учебника (рис. 342, с. 312).

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой (рис. 343, а); в противном случае призма называется наклонной (рис. 343, б). Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной (рис. 343, в).

Учитель демонстрирует учащимся модели различных призм.

5. Определение высоты призмы (рис. 344).

6. Определение параллелепипеда.

Четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом (рис. 345). Все шесть граней параллелепипеда – параллелограммы.

Если параллелепипед прямой, то есть его боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, то боковые грани – прямоугольники. Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то этот параллелепипед – прямоугольный.

Учитель показывает учащимся модели прямого и прямоугольного параллелепипедов.

7. Записать в тетрадях свойство диагоналей параллелепипеда: «Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам».

Доказательство этого утверждения основано на следующем факте: «если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны».

Доказательство свойства диагоналей параллелепипеда учащиеся проводят устно по готовым чертежам на доске с помощью учителя (рис. 346, а, б, в, заранее выполнить на доске).

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1185.

а) Число вершин призмы определяется количеством вершин многоугольника, лежащего в основаниях призмы. Так как призма имеет два основания, то n-угольная призма имеет 2n вершин (четное число). Например: треугольная призма имеет 2 ∙ 3 = 6 вершин; четырехугольная призма имеет 2 ∙ 4 = 8 вершин; пятиугольная призма имеет 2 ∙ 5 = 10 вершин.

б) Число ребер призмы равно сумме ребер двух оснований призмы и боковых ребер призмы, количество которых определяется числом вершин многоугольника, расположенного в основании призмы, то есть n-угольная призма имеет число ребер, равное 2n + n = 3n кратно 3.

2. Решить задачу № 1186.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна сумме площадей ее боковых граней. Пусть a, b, c, dm – стороны основания призмы; h – ее боковое ребро.

У прямой призмы все боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть боковые грани – прямоугольники. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Тогда

Sбок. пов. = ah + bh + ch + dh + . + mh = h ∙ (a + b + c + d + . + m) = Ph,

где P – периметр основания, h – боковое ребро.

3. Устно решить задачу № 1187, используя модель параллелепипеда.

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) да; д) нет.

IV. Итоги урока.

1. Объясните, как построить многогранник, называемый n-угольной призмой; что такое основания, боковые грани, боковые ребра и высота призмы.

2. Какая призма называется: а) прямой; б) правильной?

3. Объясните, что такое параллелепипед; какие многоугольники являются гранями: а) параллелепипеда; б) прямого параллелепипеда; в) прямоугольного параллелепипеда.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 120 и 121; выполнить рисунки (рис. 346, а, б, в) и записать в тетрадях доказательство свойства диагоналей параллелепипеда.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: