Роль простых чисел в математике - ABCD42.RU

Роль простых чисел в математике

Простые числа

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Горельская СОШ» в с. Малиновка

Конкурс исследовательских и творческих работ обучающихся

«ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКУ»

Тема: «Простые числа»

МБОУ «Горельская СОШ»

Четырина Зоя Владимировна

МБОУ «Горельская СОШ»

филиал в селе Малиновка

2.Из истории простых чисел

5.Алгоритм нахождения простых чисел .

Интерес к изучению простых чисел возник у людей в глубокой древ-ности. Привлекла их необычайная магическая сила. Неожиданные и в то же время естественные свойства натуральных чисел, обнаруженные древними математиками, удивляли их своей замечательной красотой и вдохновляли на новые исследования.

Актуальность работы: простые числа являются первичными элементами, из которых составляются все числа. Поэтому интерес к простым числам ве-лик. Так же имеется таблица простых чисел на форзаце учебника матема-тики 6 класса. Я знаю то, что находится на форзаце, имеет важную значи-мость в изучении данного предмета . И действительно, в 7 классе это под-твердилось, когда я принимала участие в школьной и районной олимпиадах. Задания были сложные, связанные с разложением на простые множители. Меня заинтересовали вопросы: «А такие ли они простые «Простые числа»?». Для раскрытия темы «Простые числа» решила провести иссле-дования. Работу начала с опроса учащихся 5 – 9 классов нашей школы. Знают ли они:

Что такое простое число?

Что такое решето?

Что такое «решето Эратосфена»?

Результаты опроса показали:

1.Что такое простое число?

Опрошенных – 36 учащихся, знают – 32 ученика (приложение 1, рис 1).

2. Что такое решето?

Опрошенных – 36 учащихся, знают — 32 ученика (приложение 1, рис. 2).

3.Что такое решето Эратосфена?

Опрошенных – 36 учащихся, знают – 3 ученика (приложение 1, рис. 3).

Анализируя результаты опроса, пришла к выводу, 92% опрошенных не знают, что такое решето Эратосфена?

Поэтому я решила глубже исследовать тему «Простые числа» и рассказать другим ученикам о закономерностях и свойствах простых чисел на модели «решето Эратосфена».

Простые числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль! Возникает проблема : найти наиболее простой и наглядный способ определения простых чисел.

Цель работы: изготовление модели решета Эратосфена, изучение алгоритма построения «решета Эратосфена» и исследование их свойств.

найти и изучить имеющуюся литературу по данной теме;

провести опрос учащихся по теме: «Простые числа»;

изготовить модель решета Эратосфена;

найти с помощью модели все простые числа от 1 до 100;

найти с помощью таблицы простые числа от 100 до 1000;

открыть какие-либо закономерности и свойства в ряду чисел;

обобщить полученные данные и сформулировать вывод.

Метод исследования:

поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

практический метод «решето Эратосфена;

наблюдение, сравнение, анализ, полученный в ходе исследования данных.

Объект исследования: простые числа

Новизна исследования:

интерес к истории возникновения простых чисел;

проведение анализа и получение результатов по теме исследования.

Предмет исследования: «решето Эратосфена».

Гипотеза : можно предположить, что освою метод «Решето Эратосфе-на», но, вернее всего не смогу найти самое большое простое число.

Практическое применение: на уроках математики при изучении тем: «Разложение чисел на простые множители», «Приведение дробей к общему знаменателю».

Данная работа знакомит с практическим и табличным методами на-хождения простых чисел. Знакомство с ними не только дополняет и углуб-ляет знания, но и развивает интерес к предмету, любознательность и логи-ческое мышление. Предлагаемая работа рассчитана на учеников 6-8 классов, желающих повысить уровень математической подготовки, увидеть красоту математических выкладок.

1.Теоретические сведения.

Еще в 6 классе на уроках математики я узнала:

простое число – это натуральное число, которое не имеет других делителей кроме 1 и самого себя. (Пример: число 17 = 1 х 17) [1, с.17].

Составное число – это натуральное число, у которого есть делители, отличные от 1 и самого себя. (Пример: число 9 = 3 х3) [1, с.17].

Всякое составное число можно разложить на простые множители.

Пример: 363=3 х 11 х11

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому, его не относят ни к составным, ни к простым числам.

Решето – барабан, с сетчатым дном, для просевки чего-либо, крупное сито (приложение 1, рис. 4) [2, с.564].

2.Из истории простых чисел.

Первым проблему определения простых чисел поставил древнегре-ческий ученый Эратосфен примерно в 220 году до нашей эры, предложив один из путей определения простых чисел [3, с.348].

В 1914 году американский математик Д. Лемер собрал в таблицу все простые числа в промежутке от 1 до 10000000. Книга таблиц имеется в Российской государственной библиотеке в Москве [3, с. 348].

Еще более титаническую вычислительную работу выполнил профессор Парижского университета Якуб Филипп Кулик, он довел таблицу простых чисел до 100 миллионов, которая хранится в библиотеки Венской Академии наук [3, с.349].

3.Биография Эратосфена.

Греческий математик Эратосфен, живший более чем за 2000 лет до н.э., составил первую таблицу простых чисел. Эратосфен родился в городе Кирене, получил образование в Александрии под руководством Каллимаха и Лисания, в Афинах слушал философов Аристона Хиосского и Аркесилая, тесно сблизился со школой Платона. В 246г. до.н.э., после смерти Каллимаха, царь Птолемей Эвергет вызвал Эратосфена из Афин и поручил ему заведовать Александрийской библиотекой в Египте (одной из первых библиотек в мире). В знаменитой библиотеке хранилось более 700 000 свитков, которые содержали все сведения о мире, известные людям той эпохи. При содействии своих помощников Эратосфен первым рассортировал свитки по темам. Эратосфен работал во многих областях науки: филология, грамматика, история, литература, математика, хронология, астрономия, география и музыка. Первый вычислил окружность Земли, пользуясь методами геометрии.

Он дожил до глубокой старости. Когда он ослеп, то перестал есть и умер от голода. Он не представлял себе жизни без возможности работать со своими любимыми книгами [4].

4.«Решето Эратосфена»

Со времен древних греков простые числа оказываются столь же при-влекательными, сколь и неуловимыми. Математики постоянно испытывают разные способы их «поимки», но до сих пор единственным по-настоящему эффективным остаётся тот способ, который найден александрийским мате-матиком и астрономом Эратосфеном. А этому методу уже около 2 тыс. лет! Этим же вопросом занимался и древнегреческий математик Эвклид. [ 3, с.347 ] .

Системный метод заключается в определении простых чисел путем отбора и отбрасывания чисел, имеющих делители, — все оставшиеся числа являются простыми. Этот метод впоследствии получил название «решето Эратосфена» и используется до сих пор. Почему «Решето»? Так как во вре-мена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а выка-лывали иглой цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных [3, с.348]

5.Алгоритм нахождения простых чисел.

Для изготовления «решета Эратосфена» я взяла: фанеру формата А 4 . Начертила сетку, в каждой клетке записала натуральные числа от 1 до 100 (приложение 1, рис. 5).

Выполнила следующие шаги.

1 шаг. Вычеркиваем 1, так как она не является не простым ни составным числом.

2 шаг. Из ряда чисел:2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 и т. д. вычёркиваем числа кратные 2. 3 шаг . Теперь, кратные 3. 4 шаг. Кратные 4. 5 шаг. Кратные 5.

6 шаг. Кратные 6. …

Делим, пока все составные числа не будут «просеяны», и останутся только простые числа: 2,5,7,11,.13. (приложение 1, рис. 6).

И так я определила простые числа от1 до 100: 25 чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ) (приложение 1, рис. 7).

Затем я исследовала простые числа по таблице от100 до 200: 21 число (101. 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199) (приложение 1, таблица 8).

Простые числа от 200 до 300: 16 чисел (211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293)

Простые числа от 300 до 400, от 400 до 500, . от 900 до 1000 (приложение 2).

На основании проделанной работы была подтверждена следующая законо-мерность и свойства простых чисел:

Читайте также  Расчет сушильной установки

1. Числа – близнецы до 500: 3-5; 5-7; 11-13; 17-19; 29-31; 41-43; 59-61; 71-73; 101-103; 107-109; 137-139; 149-151; 179-181; 191-193; 197-199; 227-229; 239-241; 269-271; 281-283; 311-313; 347-349; 419-421; 431-433; 461-463. (24 пары.)

Числа близнецы от 500 до 1000: 521-523; 569-571; 599-601; 617-619; 641-643; 659-661; 809-811; 821-823; 827-829; 857-859; 881-883. (11 пар.)

Получила до 1000: 35 пар чисел-близнецов.

2. Числа — палиндромы: 11,101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, (16 чисел)

Получила до 1000: 16 чисел палиндромы.

3. Симметричные себе простые числа: 107 – 701, 113 – 311, 149 – 941,

157 – 751, 167 – 761, 179 – 971, 199 -991, 337- 733, 347 – 743,

359 – 953, 389 – 983, 709 – 907, 739 -937, 769 – 967 (14 пар).

Получила до 1000: 14 пар симметричные себе простые числа.

4. Простые числа могут разместиться в магическом квадрате (Магические (волшебные) квадраты – квадратные таблицы натуральных чисел (с одинаковым количеством строк и столбцов), имеющие одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям) (приложение 2).

5. Любое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы 2-х простых чисел.

Например: 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=3+7, 12=5+7,, 14=7+7, 16=11+5, 18=7+11,, 20=3+17, 56=19+37, 924=311+613 и т.д. Но это утверждение не доказано. Такую задачу называют проблемой Варинга.

6. Любое нечетное число больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел.

Например: 7=2+3+2, 9=2+5+2, 11=5+3+3, 13=5+5+3, 15=7+5+3, 17=5+5+7, 19=5+7+7, 21=3+7+11, 23=5+7+11, 25=17+3+5 и т.д.

Подойти к доказательству этого предложения сумел лишь 200 лет спустя русский математик, академик Иван Матвеевич Виноградов (1891-1983).

7. Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна – числа вида М р =2 р -1. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук (приложение 2).

8. 31 – простое; 331 – простое; 3331 – простое; 33331- простое; 333331 – простое; 3333331 – простое; …

Вывод: Распределяются простые числа в натуральном ряду очень неравномерно. Первый десяток натуральных чисел содержит 4 простых, т.е. 40%. Первая сотня натуральных чисел содержит 25 простых, т.е. 25%. Следовательно, количество простых чисел уменьшается.

6.Заключение.

Простые числа – это как бы кирпичики, из которых строятся осталь-ные натуральные числа. Таким образом, простые числа, казавшиеся когда-то бесполезным, бессмысленным понятием, не только приобрели характер, но и оказались мощным средством, ускоряющим развитие науки. Количество про-стых чисел бесконечно. Эту теорему доказал древнегреческий математик Евклид III в. до н.э. [1, с.33]. Наименьшим простым числом является 2. Кстати 2 – единственное простое число, которое четно. Способ добывания простых чисел является кустарным, но вполне надежным. Создать общую формулу, которая давала бы только простые числа не смогли до сих пор, поэтому тему работы можно развивать. Гипотеза оказалась верна: освоив метод «решето Эратосфена», не смогла найти самое большое простое число.

В своей работе «Простые числа» изучена история, свойство простых чисел. Знания, полученные в ходе исследования, пригодятся мне дальше при изучении математики. Созданная модель решето Эратосфена, красочно оформленная, поможет и другим учащимся разобраться в нахождении про-стых чисел.

7. Л итература

Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика 6 класс. М.: Мнемозина, М-2012.

Даль В.И., Толковый словарь русского языка. М.: Эксмо 2002.

Кордемский Б.А. Математическая смекалка. М.: Юнисам, МДС, 1994 .

http: //schools. keldysh 1216/materials/sun_sus_do/eratosphen. html

Числа-близнецы

Все простые числа – нечётные, поэтому они никогда не идут друг за другом, то есть два простых числа всегда разделены, по крайней мере, одним числом, которое является чётным. Исключение составляют числа 2 и 3, так как 2 является единственным чётным простым числом.

В первой сотне натуральных чисел мы можем найти следующие пары чисел, отделённых друг от друга одним числом:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) и (71, 73).

Такие простые числа называются «числами-близнецами» или «парными». Простые числа-близнецы по мере увеличения встречаются реже и реже. Но компьютерные вычисления показывают, что парные числа продолжают встречаться даже среди необыкновенно больших чисел. Самыми большими известными числами-близнецами (открытыми в 2016 г.) являются числа:

2 996 863 034 895 × 2 1290000 -1

2 996 863 034 895 × 2 1290000 +1

Поиск простых чисел всегда занимал умы великих математиков. Самый первый и самый простой метод приписывают древнегреческому математику Эратосфену (273–194 до н.э.). Метод называется «решето Эратосфена».

Эратосфен

Греческий математик, астроном, географ, филолог и поэт. Основатель научной хронологии, автор работ по измерению окружности Земли.

На примере чисел от 1 до 100 покажем, как при помощи этого метода «просеиваются» простые числа.

  1. Составим таблицу натуральных чисел от 1 до 100.
  2. Вычеркнем единицу и все числа, кратные двум: 4, 6, 8, 10…
  3. Вычеркнем все числа, кратные трём: 6 (уже вычеркнули), 9, 12, 15…
  4. Аналогично вычеркнем числа, кратные пяти, семи и т. д.

Невычеркнутыми остались простые числа.

Таким образом, главной особенностью простых чисел, которая привлекала и привлекает математиков, является отсутствие правила, которое предсказывало бы их появление в последовательности натуральных чисел. Простые числа появляются абсолютно непредсказуемо. Между двумя соседними простыми числами может находиться всего лишь одно составное число, а могут находиться миллионы и миллиарды составных чисел. Рассмотрим оба случая.

В первой тысяче натуральных чисел находится всего 168 простых чисел. Можно предположить, что в каждой следующей тысяче количество простых чисел не будет сильно изменяться. Но это далеко не так. Например, среди чисел в промежутке между числами 10 100 и 10 100 +1000 существует только два простых числа. Более того, существуют еще бóльшие пробелы, например, 20 000 идущих подряд чисел, среди которых нет ни одного простого числа. Как такое возможно?

Множество натуральных чисел бесконечно, поэтому в нём встречаются сколь угодно длинные последовательности чисел, не содержащие ни одного простого числа.

Доказательство. Рассмотрим произведение первых пяти натуральных чисел:

1×2×3×4×5 =120

Примечание. Выражение 1x2x3x4x5 удобнее записать следующим образом — 5!, которое в математике называется «фaкториaл числа пять».Очевидно, что 5! это составное число.

Ясно также, что число 5! + 2 = 122 также не является простым. Оно делится на 2, так как оба слагаемых содержат множитель 2. Аналогично, число

5! + 3 =123

не является простым, оно делится на 3.

5! + 4 =124 и 5! + 5 =125

также не являются простыми,

так как делятся на 4 и 5 соответственно.

Итак, мы получили четыре последовательных числа — 122, 123, 124, 125, которые не являются простыми числами.

Аналогично можно составить ряд из ста (миллиона, триллиона) последовательных чисел, не содержащих простых чисел. А это значит, что по мере продвижения по ряду натуральных чисел, простые числа встречаются всё реже и реже.

Означает ли то, что простые числа встречаются всё реже и реже, то, что может наступить момент, когда простые числа больше не появятся? Нет, не означает. Античный математик Евклид очень элегантно и остроумно доказал, что множество простых чисел бесконечно.

Евклид

Древнегреческий математик известный как «отец геометрии». Автор трактата «Начало» — первого дошедшего до нас труда по математике.

Множество простых чисел бесконечно, и каким бы длинным не был ряд составных чисел, в конце концов появится простое число.

Доказательство. Предположим, что нам известны только следующие простые числа:

Перемножим их и добавим к результату единицу:

2×3×5 + 1 =31

Ясно, что число 31 не делится ни на одно простое число (2, 3, 5). А это означает, что мы нашли новое простое число.

Если взять ряд последовательных простых чисел, перемножить их и добавить единицу, то полученное число не будет делиться ни на одно из исходных простых чисел.

Возьмём теперь следующий ряд простых чисел:

Перемножим их и добавим единицу:

2×3×5×7×11×13 + 1 = 30 031

Полученное число также не будет делиться ни на одно из исходных простых чисел. Но это ещё не значит, что оно простое.

Читайте также  Острая ревматическая лихорадка

Согласно «Основной теореме арифметики», которую сформулировал Евклид, «любое натуральное число может быть единственным образом разложено в произведение простых множителей».

Действительно, число 30 031 может быть разложено в произведение двух других простых чисел:

30 031 = 59 × 509

В этом случае мы также нашли два новых простых числа —

59 и 509

Каким бы ни был первоначальный ряд простых чисел, при их перемножении и добавлении единицы получится:

  1. либо новое простое число, которого нет в первоначальном ряду;
  2. либо составное число, при разложении которого на простые множители получаются новые простые числа, которых также нет в первоначальном ряду.

К сожалению, этот метод не позволяет найти все простые числа.

Простые и составные числа: определения и примеры

Простые и составные числа: Freepick

Математика по-разному называет числа и делит их на определенные группы. На уроках услышите о простых и составных числах. Чем обосновано такое деление и как научиться различать эти категории чисел? Помогут разобраться в этом вопросе примеры.

Простые числа и их особенности

Сложение, вычитание, умножение, деление — все эти операции привычны для математиков, которые ловко оперируют самыми разными числами и способны вести подсчеты в уме не хуже, чем вычислительные машины. Помогают им в этом простые и составные числа.

Познакомимся с первой группой чисел. Простое число — это любое число, которое можно разделить само на себя и на единицу. Яркий и простой для запоминания пример — число 13. Легко заключить, что разделить его получится:

Денежный код: как рассчитать и для чего

  • на 13 (получится единица);
  • на единицу (получится 13).

Любое число, которому подходит под это определение, попадает в группу простых. Следует помнить о том, что подразумевается деление числа нацело. С целым или дробным остатком деление возможно практически для любых чисел.

Числа в математике: Freepick

Для удобства в математике используются таблицы простых чисел. При их составлении вручную последовательно проверяется каждое число. Например:

  • У числа 2 есть лишь два делителя (1 и 2), поэтому его можно записать в таблицу.
  • Также и с числом 3.
  • У числа 4, кроме 1 и 4, есть также делитель 2, поэтому оно нам не подойдет.

Такие операции можно выполнять до числа 100 и далее.

Самостоятельные и служебные части речи с примерами

Но в книге о простых числах выдающегося математика Л. Г. Шнирельмана указано, что существует бесконечное множество простых чисел. Как быть и можно ли ускорить процесс их нахождения?

Математики нашли решение этой задачи. Быстро отобрать простые числа можно с помощью решета Эратосфена:

  1. Записывают числа, например, от 2 до 50.
  2. Последовательно вычеркивают числа, которые кратны 2, 3, 5, 7, 11.
  3. Все оставшиеся числа принадлежат к группе простых.

На уроках часто пользуются уже готовыми таблицами, но важно помнить о том, каким образом в них оказываются те или иные числа. Кроме простых, выделяют также группу взаимно простых чисел, у которых есть только один общий делитель — единица (например, 14 и 25).

Единицы измерения времени: меры и особенности исчисления

Что такое составные числа

Количество составных чисел в разы превышает количество простых. Составными числами называют такие, которые не относятся к простым, то есть имеют делители, кроме единицы и самого себя. Иногда составные числа называют сложными.

Рассмотрим это на примере:

  1. Допустим, есть число 13.
  2. Умножаем его на простое число 2. В результате получится число 26, которое относится к составным.
  3. Делить его нацело можно на 1, 2, 13 и 26. В этом числе есть два множителя — 2 и 13.

Таким образом, составным числом называют такое число, у которого есть два и более простых множителей.

Зачем математики используют простые и составные числа? Это необходимо для упрощения разложения на множители. Вместо долгих поисков того, на какие числа можно разложить большое значение, достаточно использовать специальную таблицу.

Единицы измерения величин для школьников

Разложение на простые множители необходимо для определения самого большого общего делителя и самого маленького общего кратного. Эти значения применяют в сложении, вычитании и сравнении дробей.

Математические расчеты: Freepick

Обсуждая простые и составные числа, не было сказано, в какую группу отнести ноль и единицу. Остановимся на единице. Согласно определению, у простого числа должно быть два делителя — единица и оно само.

Но для единицы делитель фактически один, потому к простым числам ее нельзя отнести. Составным числом единица также не может быть (нет более двух делителей), а потому она остается числом без категории.

Как быть с нулем? Ноль, в отличие от единицы, делится на любые числа и получается при этом все тот же ноль. Кроме того, его не получится разложить на простые множители. С учетом теории и определения простых и составных чисел математики приняли решение ноль, как и единицу, исключить из категорий простых и составных чисел.

Как украсить комнату своими руками?

Таким образом, математикам удалось классифицировать и разделить на две большие группы все многообразие чисел. Ученые сделали это, найдя для них общие признаки. Простые числа имеют только два делителя, а у составных их гораздо больше. Вне этой классификации остались лишь единица и ноль.

Уникальная подборка новостей от нашего шеф-редактора

Простые числа — это чудеса деления

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком математическом понятии, как ПРОСТЫЕ ЧИСЛА.

В школе это проходят в 5 или 6 классе, в зависимости от программы обучения.

И интересно, что если спросить школьников, что такое простые числа, то они, скорее всего, ответят правильно.

А вот взрослые задумаются и не факт, что вспомнят точное определение. Так что это статья скорее для них.

Простые числа — это.

Итак, вот как выглядит официальное определение:

Простые числа – это такие числа, которые имеют только два делителя. Один из них – единица, а другое – само число.

Чтобы было более понятно, приведем простой пример. Для чисел 5 и 7 надо найти все возможные делители, чтобы в результате образовалось целое число.

Если вы попробуете решить эту задачку, то получите, что 5 и 7 делятся только на 1 и 5, и 1 и 7 соответственно. Во всех других случаях вы получите дробное число. И это как раз означает, что числа 5 и 7 относятся к простым.

А вот попробуем по той же схеме разобрать числа 6 и 9. В первом случае мы получим, что 6 можно поделить на 1, 2, 3 и 6, а число 9 – на 1, 3 и 9. И это уже противоречит определению простых чисел, значит, 6 и 9 таковыми не являются.

Они называются в математике – СОСТАВНЫМИ ЧИСЛАМИ.

Список и таблица простых чисел

Некоторые ошибочно полагают, что наименьшее простое число – это единица.

С одной стороны, в этом есть логика, так как 1 делится только на 1. Но это получается одно и то же число (единица), что противоречит определению простых чисел, в котором четко прописано – «делителей должно быть два».

Значит, минимальное простое число – это 2. А первоначальный ряд выглядит следующим образом:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199…

При желании можете проверить эти числа на предмет деления. Мы же скажем, что этот ряд на самом деле не окончательный.

Количество простых чисел не ограничено. Или говоря математическим языком, оно стремится к бесконечности.

История простых чисел

Первые упоминания о простых числах относятся к Древнему Египту. В Британском музее хранится папирус, который датируется 2000 годом до нашей эры. И на нем, согласно расшифровке, содержится учебное пособие по арифметике.

В том числе и про деление чисел. Называется этот артефакт – папирус Райнда, по имени его первого владельца.

Читайте также  Сущность и формы социального контроля

В этом документе есть таблица, в которой указаны числа, делящиеся на различные знаменатели. Причем они разделены таким образом, что становится понятно – древние египтяне может и не пользовались понятиям «простое число», но хотя бы имели о нем представление.

Ну а первые исследования простых чисел датируются 300 годом до нашей эры. И связаны они с именем знаменитого древнегреческого математика Евклида.

Как и многое другое, он описал простые и составные числа в своем известном произведении «Начала».

В частности, Евклид описал такие вещи, как:

  1. Основная теорема арифметики;
  2. Бесконечность прямых чисел;
  3. Лемма Евклида.

Сейчас расскажем об этих понятиях подробнее.

Основная теорема арифметики

Основная теорема арифметики, которую придумал еще Евклид, гласит:

Любое натуральное число (это что?), которое больше единицы, может быть представлено в виде произведения простых чисел. Причем их количество не ограничено, а порядок следования неважен.

Если обозначить исходное число буквой N, а простые числа буквами Р1, Р2, Р3 и так далее, то можно записать эту теорему следующим образом:

N = Р1 * Р2 * Р3 * … * РК

Например, возьмем число 100. Его можно разложить на следующие простые числа:

100 = 5 * 5 * 2 * 2

Или более сложный пример – число 23244:

23244 = 149 * 13 * 3 * 2 * 2

Раскладывать на простые числа легко. Можно сперва делить на 2 и 3, а уже в конце автоматически получить более сложные делители.

Ради интереса придумайте любое число и сами найдите его составляющие.

Лемма Евклида

Еще одна теорема, которая имеет прямое отношение к простым числам. Она гласит;

Если некое простое число Р делит произведение чисел X и Y без остатка, то оно может точно так же поделить или X, или Y.

Звучит несколько сложновато, хотя на деле все это просто. Так, возьмем для примера P = 2, X = 6, Y = 9. И тогда получается, что

В нашем примере P делит это произведение без остатка:

(X * Y) / P = 54/2 = 27

А значит наша P может поделить без остатка или X, или Y. Очевидно, что это X:

Y/P = 9/2 = 4,5 (не подходит)

Как быстро и легко определить простые числа

И еще одно понятие, которое связано с простыми числами. Оно названо в честь другого древнегреческого математика Эратосфена Киренского.

Этот человек придумал, как быстро и легко определить простые числа. В частности, он сделал таблицу, в которой были указаны значения до 1000.

Свою таблицу он нарисовал на глиняной дощечке. А после прокалывал те клеточки, на которых были написаны составные числа. В результате получилось нечто вроде решета, отсюда собственно и название метода.

Кстати, пользоваться решетом Эратосфена весьма просто. Например, сделаем таблицу до 50.

После этого из нее надо поочередно вычеркивать числа, которые кратны 2, 3, 5, 7 и 11. В результате получится вот это:

Те числа, которые остались, и есть простые. Можете сравнить этот ряд с тем, который мы давали в начале статьи. Точно таким же способом можно составить абсолютно любой ряд простых чисел = хоть до тысячи, хоть до миллиона и больше.

Вот и все, что мы хотели рассказать о ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ в математике.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (1)

Математика весьма хитрая наука, да и простые числа не такие уж и простые, понимание простых и составных чисел привело человечество к тому техническому прогрессу, что окружает нас сейчас.

Что такое Простые числа

Простые числа — это натуральные числа, больше единицы, которые делятся без остатка только на 1 и на само себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Единица не является ни простым числом, ни составным.

Последовательность простых чисел начинается с 2 и является бесконечной; наименьшее простое число — это 2 (делится на 1 и на самого себя).

Составные числа — это натуральные числа, у которых есть больше двух делителей (1, оно само и например, 2 и/или 3); это противоположность простым числам. Например: 4, 6, 9, 12 (все делятся на 2, на 3, на 1 и на само себя).

Все натуральные числа считаются либо простыми, либо составными (кроме 1).

Натуральные числа — это те числа, которые возникли натуральным образом при счёте предметов; например: 1, 2, 3, 4. (нет ни дробей, ни 0, ни чисел ниже 0).

Зачастую множество простых чисел в математике обозначается буквой P.

Простые числа до 1000

Как определить, является ли число простым?

Очень простой способ понять, является ли число простым — нужно его разделить на простые числа и посмотреть, получится ли целое число. Сначала нужно попробовать его разделить на 2 и/или на 3. Если получилось целое число, то оно не является простым.

Если после первого деления не получилось целого числа, значит нужно попробовать разделить его на другие простые числа: 5, 7, 11 и т. д. (на 9 делить не нужно, т. к. это не простое число и оно делится на 3, а на него вы уже делили).

Более структурированный метод — это решето Эратосфена.

Решето Эратосфена

Это алгоритм поиска простых чисел. Для этого нужно:

  1. Записать все числа от 1 до n (например, записываются все числа от 1 до 100, если нужны все простые числа между ними);
  2. Вычеркнуть все числа, которые делятся на 2 (кроме 2);
  3. Вычеркнуть все числа, которые делятся на 3 (кроме 3);
  4. И так далее по порядку со всеми невычеркнутыми числами до числа n (после 3 это 5, 7, 11, 13, 17 и т. д.).

Те числа, которые не будут вычеркнуты в конце этого процесса, являются простыми.

Взаимно простые числа

Это натуральные числа, у которых 1 — это единственный общий делитель. Например:

  • 14 (это 2 х 7) и 15 (это 3 х 5), единственный общий делитель — 1; если числа следуют одно за другим (как 13 и 12 либо 10 и 11), то они всегда будут взаимно простыми;
  • 7 (это 7 х 1) и 11 (это 11 х 1) — это два простых числа, а значит единственный общий делитель всегда будет только единица, простые числа всегда являются взаимно простыми;
  • или 30 и 48 не являются взаимно простыми, т. к. 6 х 5 = 30 и 6 х 8 = 48 и 6 — это наибольший общий делитель, т. е.: НОД (30; 48) = 6.

Число Мерсенна

Простое число Мерсенна — это простое число вида:

До 1536 г. многие считали, что числа такого вида были все простыми, пока математик Ульрих Ригер не доказал, что 2 (^11) – 1 = 2047 было составным (23 x 89). Затем появились и другие составные числа (p = 23, 29, 31, 37 и др.).

Например, для p = 23 это 2 (^23) – 1 = 8 388 607; И 47 x 178481 = 8 388 607, значит оно составное.

Почему 1 не является простым числом?

Российские математики Боревич и Шафаревич в своей знаменитой работе «Теория чисел» (1964 г.) определяют простое число как p (элемент кольца D), не равен ни 0, ни 1. И p можно называть простым числом, если его невозможно разложить на множители ab (т.е. p = ab), притом ни один из них не является единицей в D. Так как 1 невозможно представить ни в одном, ни в другом виде, 1 не считается ни простым числом, ни составным.

Почему 4 не является простым числом?

Простое число — это натуральное число, больше единицы, которое делится без остатка на 1 и на само себя. Т. к. 4 можно разделить на 1, на 2 и на 4, из-за деления на 2 оно не является простым.

Самое большое простое число

21 декабря 2018 года Great Internet Mersenne Prime Search (проект, целью которого является открытие новых простых чисел Мерсенна) обнаружил новое самое большое известное простое число:

Новое простое число также именуется M82589933 и в нём более чем на полтора миллиона цифр больше, чем в предыдущем (найденном годом ранее).

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: