Секция математика признаки делимости чисел - ABCD42.RU

Секция математика признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

  • Признак делимости на 2
  • Признак делимости на 3
  • Признак делимости на 4
  • Признак делимости на 5
  • Признак делимости на 6
  • Признак делимости на 7
  • Признак делимости на 8
  • Признак делимости на 9
  • Признак делимости на 10
  • Признак делимости на 11

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

    4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

    18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

  • 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16_4=4.
  • 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а .

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

    344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12_4=3).

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

  • в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
  • в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

    10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

  • 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18_3=6).
  • 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
  • 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

  • 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28_7=4.
  • 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35_7=5 (в числе 105 – десять десятков).
  • 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28_7=4.
  • 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

  • 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24_8=3.
  • 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а .

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

  • 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
  • 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

  • 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9_9=1.
  • 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

  • 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
  • 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

  • 737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11_11=1.
  • 1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
  • 24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.

Секция математика признаки делимости чисел

Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся — нечетным. Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях — не делится.

Например, число 52 738 делится на 2, так как последняя цифра 8 — четная; 7691 не делится на 2, так как 1 — цифра нечетная; 1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях — не делится.

Примеры.
31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.

Признак делимости на 8

Признак делимости на 8 подобен предыдущему. Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях — не делится.

Примеры.
125000 делится на 8 (три нуля в конце);
170 004 не делится на 8 (три последние цифры дают число 4, не делящееся на 8);
111120 делится на 8 (три последние цифры дают число 120, делящееся на 8).

Можно указать подобные признаки и для деления на 16, 32, 64 и т. д., но они не имеют практического значения.

Признаки делимости на 3 и на 9.

На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 — только те, у которых сумма цифр делится на 9.

Примеры.
Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1 +7 + 8 + 3 + 5 = 24 делится на 3 и не делится на 9.
Число 105 499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (29) не делится ни на 3, ни на 9.
Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.

Признак делимости на 6.

Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае — не делится.

Например, 126 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 5.

На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие — не делятся.

Пример.
240 делится на 5 (последняя цифра 0);
554 не делится на 5 (последняя цифра 4).

Признак делимости на 25.

На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.

Пример.
7150 делится на 25 (оканчивается на 50), 4855 не делится на 25.

Признаки делимости на 10, 100 и 1000.

На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 — только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 — только те, у которых три последние цифры нули.

Примеры.
8200 делится на 10 и на 100;
542000 делится на 10, 100, 1000.

Признак делимости на 11.

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равнасумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.

Примеры.
Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные места 0+7+5=12.
Число 9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11.
Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 -7 = 4 на 11 не делится.

Признак делимости на 7.

Таким образом для делимости на числа первого десятка, кроме 7, существуют удобные признаки; для 7 удобного признака делимости не найдено.

Можно дать следующий признак делимости на 7, который недостаточно удобен. Разобьем число справа налево на грани, по три цифры в каждой грани. Число делится на 7, если разность суммы чисел в гранях, стоящих на четных местах, и суммы чисел в гранях, стоящих на нечетных местах, делится на 7. Так, число 159 213 608 421 делится на 7, так как 421 + 213=634, 608 + 159 = 767 и разность 767 — 634 = 133 делится на 7.

Читайте также  Теория ожиданий Врума

Секция математика признаки делимости чисел

Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления:

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 18

Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 9.

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 5

Признак делимости на 21

Число делится на 21 тогда и только тогда, когда оно делится на 7 и на 3

Признак делимости на 22

Число делится на 22 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 11

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 24

Число делится на 24 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 8

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75).

Признак делимости на 26

Число делится на 26 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 13

Признак делимости на 28

Число делится на 28 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 7

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно делится на 10 и на 3

Признак делимости на 34

Число делится на 34 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 17

Признак делимости на 35

Число делится на 35 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 7

Признак делимости на 36

Число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 9

Признак делимости на 38

Число делится на 38 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 19

Признак делимости на 39

Число делится на 39 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 13

Признак делимости на 40

Число делится на 40 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 8

Признак делимости на 42

Число делится на 42 тогда и только тогда, когда оно делится на 6 и на 7

Признак делимости на 44

Число делится на 44 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 11

Признак делимости на 45

Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Призннак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признак делимости на 2 n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5 n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.

Признак делимости на 10 n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10 n +1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10 n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n + 1.

Признаки делимости

При решении задач ЕГЭ базового и профильного уровня необходимо знать признаки делимости. Многие признаки делимости чисел нацело вы знаете из начального курса математики. Поэтому такая простая информация могла легко забыться. Сегодня мы с вами повторим основные признаки делимости и решим некоторые задачи.

  1. Признаки делимости
  2. Простые и составные числа
  3. Признаки делимости
  4. Признак делимости на 2
  5. Признак делимости на 4
  6. Признак делимости на 8
  7. Признак делимости на 3
  8. Признак делимости на 9
  9. Признак делимости на 5
  10. Признак делимости на 25
  11. Признак делимости на 11
  12. Пример 1.
  13. Пример 2.
  14. Деление с остатком
  15. Теоремы
  16. Теперь рассмотрим конкретные задания из ЕГЭ на делимость
  17. Задание №1
  18. Задание №2
  19. Задание №3
  20. Задание №4
  21. Задание №5
  22. Задание №6
  23. Задание №7
  24. Задание №8
  25. Задание №9
Читайте также  Последствия Чернобыльской аварии

Признаки делимости

Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство a = bc. В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b.

Если числа делится на b, то пишут .

так как так как

Свойства делимости чисел

Простые числа и составные числа.

Простые и составные числа

Число p называется простым, если оно делится только на себя и на единицу.

Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.

Число 17 простое. Делители 17: 1, 17.

Число 9 составное. Делители 9: 1, 3, 9.

Единица не является ни простым, ни составным числом.

Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.

Признаки делимости

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа есть число, которое делится на 2 (последняя цифра – образует четное число).

Например, число 124 делится на 2, так как 4 — четное число.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа дают число, которое делится на 4.

Пример: 132 делится на 4, потому что последние две цифры «3» и «2» образуют число 32, которое делится на 4.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры в записи числа образуют число, которое делится на 8.

Пример, число 2192 делится на 8, поскольку последние три цифры «1», «9» и «2» образуют число 192, которое делится на 8. При рассмотрении задач надо иметь в виду, что число делящееся на 8, в свою очередь должно делится и на 4 и на 2 одновременно.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 3.

Пример: число 153 делится на 3, так как сумма чисел 1+3+5=9 делится на 3.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 9.

Пример: число 198 делится на 9, поскольку сумма чисел 1+9+8=18 делится на 9.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа образует число, которое делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).

Пример, число 165 делится на 5, так как заканчивается на 5.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры в записи числа, образуют число, которое делится на 25.

Пример: число 125 делится на 25, так как последние две цифра «2» и «5» образуют число 25, которое делится на 25.

Следует помнить, что цифры не могут суммироваться, делиться и т.д. Цифры это такие значки, которыми записываются числа. И веса у них самих по себе не более чем у любого другого значка, как у смайлика. Но, если мы цифрой запишем число, то с числом мы уже можем проводить любые операции. Числа могут быть однозначные и двузначные, их бесконечное количество, но цифр для их записи всего 10. Не путайте понятия числа и цифры, не портите отношения с проверяющими ваши работы математиками.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы чисел, стоящих на нечетных местах в записи числа, и суммы чисел, стоящих на четных местах в записи числа, делится на 11. А также если сумма чисел стоящих на четных местах, делится на сумму чисел, стоящих на нечетных местах.

Пример 1.

123456789 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, а 45 делится на 3.

Пример 2.

1452 делится на 11, так как (1 + 5) – (4 + 2) делится на 11. Или 1+5=4+2.

Деление с остатком

Пусть a и b ≠ 0 – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия:

От деления на b могут быть только остатки: 0, 1, 2, 3…, |b|-1.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Теоремы

1) Сумма чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и сумма остатков чисел a и b при делении на число m.

2) Произведение чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и произведение остатков чисел a и b при делении на число m.

Теперь рассмотрим конкретные задания из ЕГЭ на делимость

Задание №1

Найдите четырёхзначное число, которое делится на 33 и состоит только из цифр 1 и 2. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.

Решение:

Если число делится на 33 то оно делиться на 11 и 3. Число делится на 11, если сумма цифр стоящих на четных позициях будет равна сумме цифр на нечетных позициях. Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3.

Значит стоит чередовать 1 и 2 по 2 раза, причем если сложим 2 двойки и 2 единицы получим 6, значит, число будет делиться на 3. Получим число 1122.

Ответ: 1122

Задание №2

Найдите трёхзначное число, состоящее только из чётных цифр и кратное 9. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.

Решение:

Если число должно делиться на 9, то и сумма цифр должна делиться на 9, наименьшее 9, но его нельзя представить как сумму 3 чётных цифр, рассмотрим 18, первой цифрой поставим 2 ( минимальное четное число), тогда на остальные 2 остается только 8 и 8, получим число 288.

Ответ: 288

Задание №3

Найдите трёхзначное число, которое при делении на 5 и 7 даёт равные ненулевые остатки, а вторая цифра этого числа равна сумме первой и третьей цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Число не должно оканчиваться на 0 или 5, так как в этом случае остаток от деления на 5 равен 0. Пусть вторая цифра в числе будет 4, тогда первая и третья цифры могут быть 1 и 3, получаем число 143. Проверяем:

1) 143_5=28 (Остаток 3)

2) 143_7=20 (Остаток 3)

Остатки равны, соответственно условие выполнено.

Аналогичными рассуждениями можно найти и другие числа: 176; 352; 561.

Ответ: 176

Задание №4

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 7, если известно, что число содержит цифру 1, и квадрат этого числа делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Если квадрат числа делится на 25, то само число должно делиться на 5. Признак делимости на 5: число делиться на 5, если его последняя цифра 0 или 5. У нас трехзначное число, пусть последняя цифра будет 5, а первая 1, вторая цифра должна быть такой, чтобы сумма цифр была равна 7. Сумма цифр уже 6, то есть вторая цифра должна быть равна 1. Получим число 115.

Аналогичными рассуждениями можно получить числа 160 и 610.

Ответ: 115

Задание №5

Найдите четырёхзначное число, кратное 9, но не кратное 6, произведение цифр которого равно 1960. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число делилось на 9, но не делилось на 6, оно должно быть нечетным.

Разложим 1960 на простые множители: 1960=2*2*2*5*7*7=8*5*7*7

Эти цифры обозначают числа, которые в сумме дают 27, значит число будет делиться на 9. Составим из этих цифр нечетное число, например: 7785.

Аналогичными рассуждениями (простой перестановкой цифр) можно получить другие числа.

Ответ: 7785

Задание №6

Сумма четырёх последовательных трёхзначных чисел равна 458. Найдите третье число.

Решение:

Все 4 числа приблизительно равны между собой, поэтому разделив 458 на 4 получаем 114 с остатком 2. Начинаем подбирать числа от 114.

114+115+116+117=462, это больше 458, начинаем считать от 113.

113+114+115+116=458, получили необходимую сумму. Третье число в данной последовательности равно 115.

Можно было решить альтернативно.

Пусть первое число равно n. Тогда следующие числа n+1, n+2, n+3.

Составим и решим уравнение:

Тогда третье число 115.

Ответ: 115

Задание №7

Найдите трёхзначное число, у которого сумма цифр, стоящих на нечетных местах, кратна 5, а само число кратно 9. В ответе запишите наименьшее такое число.

Решение:

Так как число должно быть наименьшим, то будет подбирать цифры так, чтобы оно начиналось с минимальной цифры (1 и далее), и аналогично будем подбирать для всех разрядов.

Нечетные места это 1 и 3, чтобы сумма цифр на нечетных местах была кратна 5, она должна быть равна, 5, 10 или 15. Пусть она будет равна 5, в сумме 5 составляют числа 1 и 4. Тогда чтобы число делилось на 9 сумма цифр должна делиться на 9, то есть в нашем случае сумма цифр должна равняться 9. То есть, на 2 месте должна стоять цифра 4. Получим число 144.

Читайте также  Основные количественные и качественные признаки преступности

Ответ: 144

Задание №8

Найдите трёхзначное число, делящееся на 9, если известно, что его цифры являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число делилось на 9, необходимо чтобы сумма его цифр делилась на 9. А, учитывая, что его цифры должны являться членами возрастающей арифметической прогрессии, каждая цифра должна отличаться от предыдущей на одно и то же число.

Если разность прогрессии равна 1, получаем a, a+1, a+2. Сумма равна 3a+3.

3a+3=9,тогда a=2, а число 234

3a+3=18,тогда a=5, а число 567

Если разность прогрессии равна 2, получаем a, a+2, a+4. Сумма равна 3a+6.

3a+6=9,тогда a=1, а число 135

3a+6=18,тогда a=4, а число 468

3a+6=27, тогда а=7, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Если разность прогрессии равна 3, получаем a, a+3, a+6. Сумма равна 3a+9.

3a+9=9,тогда a=0, не подходит

3a+9=18,тогда a=3, а число 369

3a+9=27,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Если разность прогрессии равна 4, получаем a, a+4, a+8. Сумма равна 3a+12.

3a+12=18,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Ответ: 234 или 567, или 135, или 468, или 369.

Задание №9

Найдите четырёхзначное число, которое состоит только из цифр 0 и 2 и делится на 12.

Решение:

Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и 4. На 3 число делится, если сумма цифр делится на 3. А на 4 делится, если 2 последние цифры нули или образуют число, которое делится на 4.

Чтобы число делилось на 3, в нем должно быть три двойки (чтобы в сумме давали 6). Значит 0 только один, последние 2 цифры должны быть 20, чтобы полученное число делилось на 4. То есть получаем число 2220.

Ответ: 2220

Итак, мы подробно рассмотрели делимость чисел, признаки делимости чисел и поучились применять полученные знания в задании №19 базового уровня егэ по математике.

Делимость чисел. Признак делимости

Определение 1. Пусть число a 1 ) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b.

1 ) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a, или b делит a, или b входит множителем в a.

Из определения 1 вытекают следующие утверждения:

Утверждение 1. Если a -кратное b, b-кратное c, то a кратное c.

Действительно. Так как

где m и n какие то числа, то

Следовательно a делится на c.

Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.

Утверждение 2. Если числа a и b — кратные числа c, то их сумма и разность также кратные числа c.

Действительно. Так как

Следовательно a+b делится на c и a−b делится на c .

Признаки делимости

Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m, которое называется признаком делимости Паскаля.

Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r1, 10&middotr1 на m будет r2, и т.д. Тогда можно записать:

(1)

Так как при делении любого числа на m остатки могут быть 0,1. m-1, то через m шагов остатки от деления на m будут повторяться (следовательно пересчитать их не нужно).

Любое натуральное число A в десятичной системе счисления можно представить в виде

(2)

Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа

(3)

Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.

Рассмотрим разность A−A’

(4)

Покажем, что 10 iri делиться на m при всех i=1,2. m−1.

10−ri=mk1 делится на m (т.к. mk1 кратно m),

(5)
(6)
(7)

Каждый член правой части (5) делится на m следовательно левая часть уравнения также делится на m. Рассуждая аналогично, получим — правая часть (6) делится на m, следовательно левая часть (6) также делится на m, правая часть (7) делится на m, следовательно левая часть (7) также делится на m. Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m. Следовательно A и A’ имеют одинаковый остаток при делении на m. В этом случае говорят, что A и A’ равноостаточные или сравнимыми по модулю m.

Таким образом, если A’ делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m). Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A’.

Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.

Признаки делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Признак делимости на 2.

Следуя процедуре (1) для m=2, получим:

10=2·5+0,
10·0=2&middot5+0,
и т.д.

Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делиться на 2 (т.е. когда число является четным).

Признак делимости на 3.

Следуя процедуре (1) для m=3, получим:

Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4.

Следуя процедуре (1) для m=4, получим:

Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков сложенное с числом единиц делится на 4. Число делится на 4, если последние две цифры составляют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 5.

Следуя процедуре (1) для m=5, получим:

Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 5, т.е. число оканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6.

Следуя процедуре (1) для m=6, получим:

Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.

Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.

Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.

Признак делимости на 7.

Следуя процедуре (1) для m=7, получим:

Все остатки разные и повторяются через 7 шагов. Тогда, из уравнения (3) имеем

(8)

Следовательно число делится на 7 тогда и только тогда, когда (8) делится на 7.

Пример. 3801 делится на 7, т.к. 1+0*3+8*2+3*6=1+16+18=35 делится на 7.

Другой признак делимости. Для определения, делится ли число на 7, из числа отбрасываем последнюю с права цифру, далее умножаем полученное число на 3 и добавляем и добавляет отброшенное число. Если данное число делится на 7, то исходное число делится на 6. 380*3+1=1141, 114*3+1=343, 34*3+3=105, 10*3+5=35 делится на 7, следовательно 3801 делится на 7.

Признак делимости на 8.

Следуя процедуре (1) для m=8, получим:

Все остатки все остатки нулевые, кроме первых двух. Тогда, из уравнения (3) имеем

(9)

Следовательно число делится на 8 тогда и только тогда, когда (9) делится на 8.

Пример. 4328 делится на 8, т.к. 8+2*2+4*3=24 делится на 8.

Признак делимости на 9.

Следуя процедуре (1) для m=9, получим:

Все остатки от деления на 9 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10.

Следуя процедуре (1) для m=10, получим:

Все остатки от деления на 10 равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 10 (то есть последняя цифра нулевая).

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: