Шар и сфера - ABCD42.RU

Шар и сфера

Сфера и шар

Сфераповерхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Центр сферы — данная точка (точка О на рисунке выше).

Радиус сферы — данное расстояние (R на рисунке выше), также это любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо ее точкой.

Диаметр сферыотрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр. Диаметр сферы в два раза больше ее радиуса, т.е. если радиус сферы — R, то ее диаметр — 2R.

Определение

Шартело, ограниченное сферой.

Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и саму точку О), и не содержит других точек.

Шар также может быть получен вращением полукруга вокруг его диаметра. При этом сфера образуется в результате вращения полуокружности.

Объем шара

Объем шара радиуса R равен .

Доказательство

Дано: шар радиуса R и объемом V.

Доказать: .

Доказательство:

Воспользуемся принципом Кавальери*. Рассмотрим два тела: половину шара радиуса R и тело Т, представляющее собой цилиндр радиуса R с высотой R, из которого вырезан конус с радиусом основания и высотой R. Представим себе, что оба тела «стоят» на плоскости (смотри рисунок ниже). Проведем секущую плоскость , параллельную плоскости и пересекающую радиус шара ОА, перпендикулярный к плоскости , в точке А1, а высоту ВН конуса — в точке В1.

Сечение половины шара представляет собой круг, по теореме Пифагора радиус этого круга . Поэтому площадь этого круга .

Сечение тела Т представляет собой кольцо, площадь которого равна разности площадей двух кругов: круга радиуса R и круга радиуса В1В2 (смотри рисунок выше), т.е. равна . ВВ1В2 подобен ВНК по двум углам ( В — общий, ВВ1В2 = ВНК = 90 0 ), при этом ВН = НК = R, следовательно, и В1В2 = ВВ1 , кроме того, ВВ1 = ОА1 (т.к. параллельные плоскости отсекают от параллельных прямых равные отрезки), значит, площадь сечения тела Т равна .

Получаем, что площадь сечения половины шара равна площади сечения тела Т. Поэтому и объем половины шара равен объему этого тела. В свою очередь, объем тела Т можно вычислить как разность объемов цилиндра и конуса:

.

Итак, объем половины шара равен , следовательно, объем всего шара . Что и требовалось доказать.

Площадь сферы

Площадь сферы S радиуса R вычисляется по формуле .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Геометрические фигуры. Шар, сфера.

Шаровой ( сферической ) – другими словами границей шара – поверхностью является геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) в пространстве, которые равноудалены от одной точки O , называющейся центром сферической поверхности .

Понятие шара в метрическом пространстве естественным образом обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Т.о., точками сферы оказывается каждая точка шара, которая удалена от центра на расстояние, которое равно радиусу. Каждый отрезок, который соединяет центр шара и точку на шаровой поверхности, тоже называют радиусом .

Отрезок, который соединяет 2 точки шаровой поверхности и который проходит сквозь центр шара, называется диаметр . Любой диаметр соответствует 2-м радиусам. Концы всякого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Эта точка О называется центром сферы , а расстояние AO , в свою очередь, называется радиусом сферы .

Радиус AO и диаметр AB находят тем же способом, что и для окружности.

Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у сферы.

Шар — это тело правильно геометрической формы, ограниченное поверхностью шара. Шар возможно получить, методом вращения полукруга/круга около диаметра.

Любое плоское сечение шара является кругом. Чем ближе секущая плоскость к центру шара, тем радиус круга становится больше. Самый большой круг оказывается при прохождении плоскости через центр O. Этот круг разделяет шар на две равные части и он называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.

Меридианы шара (сферы).

Сквозь 2 точки шара, которые лежат на концах общего диаметра, возможно провести бесконечное число больших кругов — меридианов. Через 2 точки, которые не на концах общего диаметра шара возможно провести всего лишь 1 большой круг.

Основные геометрические формулы шара (сферы).

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r, диаметра d можно определить по формулам:

Определения, связанные с понятием шара.

Предположим, дано метрическое пространство (X, ρ). Значит:

  • Шаром (или открытым шаром) с центром в точке и радиусом r>0 будет называться

Замкнутый шар с центром в x и радиусом r можно выразить так:

Свойства шара.

  • Шар – это открытое множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
  • Замкнутый шар — замкнутое множество в топологии, порождённой метрикой ρ.
  • По определению этой топологии открытые шары с центрами в любой точке X представляют собой её базу.
  • Т.е., . Но замыкание открытого шара не всегда совпадает с замкнутым шаром:
  • Например: допустим (X, ρ) — дискретное метрическое пространство, и X состоит из более, чем 2-х точек. Значит, для всякого будет:

  • Объём шара в 1,5 раз меньше, чем объём описанного вокруг этого шара цилиндра, а поверхность шара в 1,5 раз меньше полной поверхности этого цилиндра:

Sцил и Vцил – полная поверхность и объём описанного цилиндра вокруг шара.

Части шара.

Часть шара (сферы), которая отсекается от него любой плоскостью (ABC), является шаровым (сферическим) сегментом . Круг ABC является основанием шарового сегмента. О трезок MN перпендикуляра, который проведен из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, является высотой шарового сегмента. Точка M является вершиной шарового сегмента.

Часть сферы, которая заключена между 2-мя плоскостями, которые параллельны ABC и DEF, которые пересекают сферическую поверхность, является шаровым слоем . Кривая поверхность шарового слоя является шаровым поясом . Круги ABC и DEFоснования шарового пояса . Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота . Часть шара, которая ограничена кривой поверхностью сферического сегмента (AMCB) и конической поверхностью OABC , основанием у нее является основание сегмента (ABC) , а вершиной – центр шара O , называется шаровым сектором.

Формулу объёма шара можно объяснить следующими рассуждениями. В шаре возможно разместить огромное количество пирамид с очень маленькими основаниями, разместив пирамиды таким образом, чтобы их вершины располагались в центре шара, а основания лежали бы на поверхности шара и эти пирамиды соприкасались бы боковыми гранями.

Высота любой построенной пирамиды приблизительно равна радиусу (R) шара. Если не обращать внимание различиями этих длин, то объём (v) всех пирамид отдельно можно представить такой формулой:

Значит, сумма объёмов (V’) пирамид выразим формулой:

Сумма (S’) очень близка к площади поверхности шара (S).

Сумма объёмов всех пирамид (V’) приблизительно равна объёму (V) шара. Если не обращать внимание на незначительные различия в этих величинах, тогда получится такая формула:

которая показывает, что объём шара соответствует 1/3 произведения площади поверхности шара на длину радиуса. Зачастую озвучивают так: объём шара равен 1/3 произведения поверхности шара на его радиус.

Используя выражение S = 4πR 2 , вывели формулу:

где D — диаметр шара.

Примечание. В формуле V = 1/3 SR поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённых рассуждений можно было принять его приближённым, хотя в старших классах средней школы доказываем, что равенство V = 1/3 SR точное, а не приближённое.

Геометрия

План урока:

Понятие сферы и шара

Люди постоянно сталкиваются с предметами, имеющими форму шара. В большинстве спортивных игр (баскетболе, большом и настольном теннисе, футболе) используются мячи, которые по форме как раз являются шарами. Такую же форму имеют многие фрукты – яблоки, апельсины, мандарины. Более того, известно, что Земля, другие планеты и звезды, большинство крупных спутников также представляют собой шары.

Важно отличать шар от сферы. Сферой называют только поверхность шара. Сам же шар является объемной фигурой, к нему относят всю часть пространства, ограниченную сферой.

Дадим строгие определения сферы и шара:

Отрезок, соединяющий точку на сфере с ее центром, именуется радиусом сферы. Он же называется и радиусом шара, заключенного внутри этой сферы.

Проходящий через центр сферы отрезок, чьи концы принадлежат сфере, именуется диаметром сферы. Сама сфера считается частью шара, также как и окружность считается частью круга.Показывают шар или сферу на рисунке так:

Из определения сферы явно вытекает тот факт, что все ее радиусы одинаковы. Это в свою очередь означает, что центр сферы – это середина диаметра, и диаметр вдвое длиннее радиуса.

Заметим, что сфера является телом вращения. Она получается при повороте полуокружности вокруг ее диаметра:

Уравнение сферы

В планиметрии мы уже изучали уравнения линии. Так назывались ур-ния с двумя переменными, каждое решение которых соответствовало точке на координатной плос-ти, принадлежавшей заданной линии. Если же точка не принадлежала линии, то ее координаты решением соответствующего ур-ния не являлись. В частности, нам удалось получить уравнения прямой и окружности.

Аналогично в стереометрии вводится понятие уравнения поверхности. Так как в пространстве используются уже три координаты (х, у и z), то ур-ния поверхности содержат три переменных. Координаты всякой точки, принадлежащей поверхности, будут являться решениями ур-ния этой поверхности. И наоборот, координаты точки, не принадлежащей поверхности, будут обращать ур-ние поверхности в неверное равенство.

Выведем ур-ние сферы. Пусть ее центр располагается в точке С с координатами (х, у, z), а радиус обозначен как R. Возьмем произвольную точку А на сфере. По определению сферы расстояние между А и С должно составлять R:

Точки, координаты которых удовлетворяют этому неравенству, находятся от центра сферы на расстоянии меньше ее радиуса. Это значит, что они находятся внутри сферы, то есть принадлежат шару, чьей поверхностью является рассматриваемая сфера. Если же координаты точки удовлетворяют неравенству

то можно утверждать, что точка находится вне пределов сферы, то есть она не принадлежит ни сфере, ни шару.

Задание. Напишите уравнение сферы, центр которой располагается в точке (2; – 4; 7) и чей радиус равен 3.

Решение. Здесь мы просто подставляем координаты центра сферы и ее радиус в ур-ние сферы:

Задание. Есть сфера с радиусом 9, чей центр располагается в точке О(2; 3; 4). Определите, какие из следующих точек будут принадлежать этой сфере: А(1; 7; – 4), В(0; 6; 10), С(– 2; – 1; 11), D(5; 6; 8).

Решение. Сначала составляем уравнение сферы, описанной в условии:

Равенство неверное, значит, В не располагается на сфере (более того, раз 49 2 .

Задание. Некоторое тело представляет собой шар, внутри которого есть полость, также имеющая форму шара, причем центры этих шаров совпадают. Докажите, что площадь сечения этого тела, проходящего через центр шаров, совпадает с площадью сечения, являющегося касательной к внутреннему шару.

Решение. Обозначим радиус большей сферы как R, а радиус меньшей (внутренней сферы) как r. Площадь центрального сечения в виде кольца (показано синим цветом) представляет собой разницу между площадью большого круга с радиусом R и малого с радиусом r:

Задание. Сфера радиусом 5 см касается каждой стороны треугольника со сторонами 13, 14 и 15 см. Каково расстояние между центром этой сферы и плос-тью треугольника?

Решение. Обозначим вершины треугольника точками А, В и С. Пусть

Заметим, что плос-ть АВС – секущая, а само сечение имеет форму окруж-ти. Эта окруж-ть будет касаться сторон ∆АВС, то есть она является вписанной окруж-тью. Как вычислить ее радиус НK?

Площадь ∆АВС можно найти по формуле Герона. Предварительно найдем полупериметр ∆АВС:

Пересечение двух сфер

Пусть есть две пересекающиеся сферы с центрами в точках О1 и О2 с радиусами R1 и R2 соответственно. Какую форму будет иметь линия L, по которой они пересекаются?

Эта линия является множеством точек, которые принадлежат как первой, так и второй сфере. Обозначим две произвольные точки этой линии буквами А и В:

Проведем радиусы О1А, О1В, О2А и О2В. Теперь сравним ∆АО1О2 и ∆ВО1О2. Сторона О1О2 у них общая, а другие стороны попарно равны как радиусы сфер:

Получается, что ∆АО1О2 и ∆ВО1О2 равны. Теперь из точек А и В опустим высоты на прямую О1О2. Из равенства ∆АО1О2 и ∆ВО1О2 вытекает два факта:

  • эти высоты упадут в одну точку Н;
  • эти высоты будут одинаковы, то есть АН = НВ.

Другими словами, А и В равноудалены от Н. Получается, что точки А и В находятся на окруж-ти, центр которой – точка Н. Заметим, что О1О2 – перпендикуляр к плоскости окружности, ведь О1О2⊥АН и О1О2⊥ВН.

Точки А и В были выбраны произвольно, поэтому можно утверждать, что любые точки линии L будут находиться на одной окруж-ти. Докажем и обратное утверждение – любая точка, лежащая на этой окруж-ти, будет принадлежать линии L. Возьмем на окруж-ти какую-нибудь точку С и построим радиус НС:

Теперь сравним ∆О1НС и ∆О1НА. Они прямоугольные, ведь О1Н – перпендикуляр к плос-ти окружности. Катет О1Н у них общий, а катеты АН и НС одинаковы как радиусы окруж-ти. Значит, ∆О1НС и ∆О1НА равны, и потому

Это равенство означает, что С принадлежит сфере с центром в О1. Аналогично рассмотрев ∆О2НС и ∆О2НА, можно показать, что С также принадлежит и второй сфере. Тогда С принадлежит пересечению этих сфер.

Итак, всякая точка линии L лежит на окруж-ти с центром Н, и наоборот, каждая точка этой окруж-ти лежит на линии L. Это означает, что L как раз и является этой окружностью.

Отметим ещё один факт: по неравенству треугольника отрезок О1О2 должен быть меньше суммы отрезков О1А и О2А, то есть суммы радиусов сфер.

Задание. Сферы имеют радиусы 25 см и 29 см, а расстояние между их центрами составляет 36 см. Вычислите радиус окруж-ти, по которой они пересекаются.

Решение. Пусть А – одна их точек сечения. Искомый радиус обозначим как АН. В итоге получим такую картинку:

Площадь сферы

Сферическая поверхность, как и всякая другая ограниченная поверхность, имеет какую-то площадь. Напомним, что для вычисления площадей цилиндрической и конической поверхности мы строили их плоские развертки и находили площади уже этих разверток, используя формулы из планиметрии. Оказывается, что для сферы построить такую развертку невозможно. Мы не будем доказывать строго этот факт, но он известен из географии – любая карта Земли, которая как раз и должна быть разверткой сферической поверхности нашей планеты, является неточной и сильно искажает форму и размеры континентов. Если бы существовал способ построить точную развертку, то и географические карты не имели бы таких искажений.

Однако вычислить площадь сферы всё же можно по известной формуле:

Сейчас мы не будем доказывать эту формулу. Отметим лишь, что для ее получения необходимо использовать интегралы.

Задание. Какова площадь сферы с радиусом 5 см?

Решение. Просто используем формулу:

Ответ: 100π см 2 .

Вписанные и описанные сферы

Если каждая точка многогранника лежит на поверхности сферы, то говорят, что многогранник вписан в сферу. Тогда сферу именуют описанной, а многогранник – вписанным.

Если же сфера касается каждой грани многогранника, то уже наоборот, сфера вписана в многогранник. Тогда уже сфера будет вписанной фигурой, а многогранник – описанной.

Заметим, что не в каждый многогранник может быть вписанным или описанным. Например, в куб вписать сферу можно, а в прямоугольный параллелепипед, измерения которого отличаются, уже вписать сферу не получится.

Надо отметить, что в сферу можно вписать не только в многогранник, но и другие геометрические фигуры, в частности конус и цилиндр. Здесь нужно уточнить (без доказательства), что если касание плос-ти и сферы происходит только в одной точке, то цилиндрическая и коническая поверхности касаются сферы уже по окруж-ти.

Задание. Правильная пирамида вписана в сферу. Докажите, высота этой пирамиды проходит через центр сферы.

Решение. Опустим из центра сферы О перпендикуляр ОН на основание пирамиды. Далее возьмем произвольную вершину Х основания пирамиды, и соединим ее с Н отрезком ХН. По теореме Пифагора можно вычислить длину ХН (радиус сферы ОХ обозначим, буквой R):

Получилось, что расстояние ХН не зависит от самой точки Х. То есть все вершины основания равноудалены от точки, то есть Н – центр описанной около основания окруж-ти. Это означает, что перпендикуляр ОН одновременно является высотой правильной пирамиды, ч. т. д.

Задание. Вычислите радиус описанной сферы, в которую вписан правильный тетраэдр со стороной а.

Решение. Правильный тетраэдр можно считать правильной треугольной пирамидой, поэтому (согласно предыдущей задаче) из центра сферы О можно опустить перпендикуляр на основание АВС, который упадет в точку Н – центр основания. Так как тетраэдр правильный, то ∆АВС – равносторонний, то есть Н – эта точка пересечения и медиан, и высот. Опустим из А высоту АК, она пройдет через Н. Так как АК – ещё и медиана, то

Далее найдем длину АН. Вспомним, что АН – медиана, а точка пересечения медиан Н делит их в отношении 2:1. Это значит, что

Буквой R здесь обозначен радиус описанной сферы. Осталось применить теорему Пифагора к ∆АНD:

Задание. Докажите что вокруг любого тетраэдра можно описать сферу.

Решение. Обозначим вершины произвольного тетраэдра буквами А, В, С и D. Далее на грани АВС отметим точку К – центр окруж-ти, описанной около ∆АВС. Аналогично на грани АВD отметим Н – центр окруж-ти, описанной около ∆АВD:

Напомним, что центры описанных окружностей располагаются в той точке, где пересекаются серединные перпендикуляры. Это значит, что если мы из К и Н опустим перпендикуляры на ребро АВ, то эти перпендикуляры будут серединными, то есть они попадут в одну точку М, являющуюся серединой ребра АВ.

Мы получили плос-ть НМК. Заметим, что НМК⊥АВ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как АВ⊥МН и АВ⊥МК. Но тогда АВС⊥МНК уже по признаку перпендикулярности плоскостей, ведь АВС проходит через АВ, являющийся перпендикуляром к НМК. По той же причине и АВD⊥НМК.

Далее проведем через К перпендикуляр m к АВС. Он должен будет принадлежать НМК, ведь НМК⊥АВD. Аналогично и через Н проведем перпендикуляр n к АВD, который также будет принадлежать НМК.

В плос-ти НМК есть две прямые, mи n. Они либо параллельны, либо пересекаются. Но перпендикуляры к двум плос-тям могут быть параллельны только в случае, если сами эти плос-ти параллельны (или совпадают). Но АВС и АВD непараллельны и не совпадают, поэтому m и n непаралелльны, то есть они пересекаются в какой-то точке О.

Покажем, что точка О равноудалена от всех вершин тетраэдра. Сравним ∆АОК и ∆СОК. Они прямоугольные, ведь ОК – перпендикуляр к АВС. ОК – общий катет, а катеты АК и СК одинаковы как радиусы описанной окруж-ти. Значит, ∆АОК и ∆СОК равны, ОА = ОС. Аналогично рассмотрев ∆АОК и ∆ВОК, приходим к выводу, что ОА = ОВ. Далее рассматриваем ∆ОНD и ∆ОНА и получаем, что ОА = ОD. Эти три равенства все вместе означают, что О равноудалена от точек А, В, С и D. А это значит, что на сфере с центром О и радиусом ОА будут лежать все вершины тетраэдра, то есть такая сфера окажется описанной, ч. т. д.

Примечание. Несложно доказать, что описанная сфера будет единственной. Действительно, если бы около тетраэдра можно было описать две различных сферы, то они пересекались бы в точках А, В, С и D. Сферы пересекаются по окруж-ти, то есть А, В, С и D должны лежать на одной окруж-ти, но это невозможно, ведь они не располагаются в одной плос-ти. Значит, двух описанных сфер существовать не может.

Доказанное в задаче утверждение можно сформулировать несколько иначе:

Сегодня мы изучили сферу – одну из важнейших геометрических фигур. Именно сферическую форму имеют звезды и планеты. Жидкость, оказавшаяся в невесомости, также принимает форму шара. Важно запомнить, что сечение сферы имеет форму окруж-ти, и касательные к сфере обладают почти такими ми же свойствами, как и касательные к окруж-ти в планиметрии.

Сфера и шар

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 119.

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 119.

Сфера и шар – это аналог круга и окружности в трехмерном пространстве. Стоит поговорить о каждой из этих фигур, выделить сходства и различия, а так же формулы, свойственные этим фигурам.

Трехмерное пространство

Большая часть геометрических построений производится в плоскости, но в старших классах начинают изучать трехмерные фигуры. Двухмерное пространство имеет только две характеристики: длину и ширину. В трехмерных областях добавляется высота. В математике 6 класса изучаются отдельные 3д фигуры.

На плоскости фигуру характеризовала площадь и периметр. В трехмерных объектах к ним прибавляется объем.

Кроме того, имеется ряд специфических свойств 3д фигур. Их может пересекать прямая и плоскость, могут имеется секущие плоскости, которые принимают формы других фигур.

Применение 3д фигур для составления задач значительно усложняет их, но в то же время делает куда более интересными. Приведем определения шара и сферы, после чего попробуем выделить различия этих фигур.

Шар и сфера – это аналог круга и окружности в плоскости. Шар представляет собой фигуру, полученную вращением полукруга вокруг одной точки.

Шар имеет площадь поверхности: $S=4pir^2$

Радиус это отрезок, соединяющий центр шара и любую из точек на его поверхности.

Объем показывает, какое пространство занимает фигура. Чтобы понять, что такое объем нужно представить себе фигуру полой. Тогда объем это количество воды, которое можно налить в эту фигуру

Шар, как и любую другую трехмерную фигуру, можно рассечь плоскостью. Секущей плоскостью шара является круг, центр которого можно найти, опустив из центра шара перпендикуляр на окружность.

Хоть в школьном курсе такие ситуации не случаются, но нужно понимать, что шар может быть рассечен плоскостью под углом. Но даже в этом примере, секущая плоскость останется шаром.

Сфера

Сфера это фигура, представляющая собой множество точек в пространстве, равноудаленных от центра сферы. Сфера:

  • Имеет те же формулы объема и площади поверхности, что и шар.
  • Секущая плоскость сферы это окружность
  • Центр секущей окружности, находится так же, как и в случае с шаром

Рис. 3. Сфера.

В чем различие

Тогда возникает вопрос, а чем отличается шар от сферы кроме определения? Дело в том, что различия шара и сферы куда более размыты, нежели различия круга и окружности. Сфера так же имеет объем и площадь поверхности.

Пожалуй, кроме определения, разница заключается в том, что в задачах никогда не находят объем сферы. Как правило, ищут объем шара. Это не значит, что у сферы нет объема. Это трехмерная фигура, поэтому объем у нее есть.

Просто проводится аналогия с окружностью, у которой нет площади. Это не правило, но скорее традиция, которую нужно запомнить: в геометрии не приветствуется формулировка объем сферы.

Еще одно отличие, которое можно считать более или менее значимым: секущая плоскость сферы: окружность, которая не имеет внутреннего пространства, но имеет длину. Секущая плоскость шара: круг, который имеет площадь и не имеет длины окружности. Поэтому стоит быть аккуратным в формулировках задачи, чтобы не было ошибок из-за подобных мелочей.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое сфера и шар. Поговорили об их сходствах и различии. Узнали, что различий у этих фигур почти нет. Решили, что не стоит приводить такую формулировку, как объем сферы.

§ 16. Сфера и шар

16.1. Определения сферы и шара

Главу о пространственных (не плоских) фигурах мы начнём с изучения шара — одной из простейших, но очень богатой разнообразными и важными свойствами фигуры. О геометрических свойствах шара и его поверхности — сферы — написаны целые книги. Некоторые из этих свойств были известны ещё древнегреческим геометрам, а некоторые найдены совсем недавно.

Эти свойства (вместе с законами естествознания) объясняют, почему, например, форму шара имеют небесные тела и икринки рыб, почему в форме шара делают батискафы и мячи, почему так распространены в технике шарикоподшипники и т. д. Мы можем доказать самые простые свойства шара. Доказательства других, хотя и очень важных, часто требуют применения совсем не элементарных методов, хотя формулировки таких свойств могут быть очень простыми: например, среди всех тел, имеющих данную площадь поверхности, наибольший объём у шара.

Определяются сфера и шар в пространстве совершенно так же, как окружность и круг на плоскости.

Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на одно и то же (положительное) расстояние. Эта точка называется центром сферы, а расстояние — её радиусом.

Итак, сфера с центром О и радиусом R — это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых OX = R (рис. 137, а).

Шаром называется фигура, образованная всеми точками пространства, находящимися от данной точки на расстоянии, не большем данного (положительного) расстояния. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние — его радиусом.

Итак, шар с центром О и радиусом R — это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых OX ≤ R.

Те точки X шара с центром О и радиусом R, для которых ОХ = R, образуют сферу. Говорят, что эта сфера ограничивает данный шар или что она является его поверхностью.

О тех же точках X’ шара, для которых OX’ R (см. рис. 139, а). Тогда для любой точки X плоскости α выполняется неравенство

Из этого следует, что на плоскости α нет точек шара.

2. |Oα| = OA = R (см. рис. 139, б). Так как OA = R, то точка А принадлежит шару. Возьмём любую точку X ∈ α, отличную от А. Для неё ОХ > ОА, а так как OA = R, то OX > R. Следовательно, любая точка X, отличная от точки А, не принадлежит шару. Итак, в этом случае шар и плоскость α имеют единственную общую точку — точку А.

3. |Oα| = OA 2 = ОА 2 + АХ 2 = d 2 + АХ 2 . (1)

Докажем первое утверждение. Пусть точка X плоскости а лежит в шаре. Тогда OX ≤ R, а значит, OX 2 ≤ R 2 . Поэтому, учитывая (1), получаем

Отсюда следует, что

т. е. АХ ≤ г. Это и означает, что точка X ∈ К.

Докажем второе утверждение. Пусть точка X плоскости а лежит в круге К. Тогда

Поэтому AX 2 + d 2 ≤ R 2 , т. е. OX 2 ≤ R 2 . Это означает, что OX ≤ R, т. е. точка X лежит в шаре.

Рассуждения о пересечении сферы с плоскостью проводятся аналогично, только вместо неравенств появляются равенства. Убедитесь в этом самостоятельно.

Результат, доказанный в случае 3, сформулируем как теорему.

Теорема 17 (о пересечении шара с плоскостью). Если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара, то пересечение шара с плоскостью представляет собой круг.

16.3 Касательная плоскость сферы

Рассмотрим подробнее случай из предыдущего пункта, когда плоскость и сфера имеют единственную общую точку. В этом случае говорят, что плоскость и сфера касаются, а их общая точка называется точкой касания.

Признак касания сферы и плоскости: если плоскость проходит через точку на сфере и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она касается сферы.

Докажем свойство касательной плоскости, которое обратно этому признаку. А именно если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство. Допустим, что плоскость не перпендикулярна радиусу. Тогда она удалена от центра сферы на расстояние, меньшее радиуса. Но тогда согласно случаю 3 п. 16.2 плоскость пересекает сферу по окружности, что противоречит условию. Итак, плоскость перпендикулярна радиусу.

Объединим эти два утверждения в теорему о касании сферы и плоскости:

Теорема 18. Плоскость и сфера касаются в некоторой точке тогда и только тогда, когда плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.

Плоскость, касающаяся сферы, называется касательной плоскостью этой сферы. Отметим, что сфера имеет общую точку с такой плоскостью и лежит по одну сторону от неё, т. е. в одном полупространстве.

Плоскости, обладающие таким свойством относительно некоторой фигуры (необязательно сферы), называются опорными плоскостями этой фигуры (рис. 140).

16.4. Свойства сферы. Изображение сферы

Пусть S — сфера с центром О радиусом R, α — некоторая плоскость и |Oa| = d

Действительно, если плоскость проекции проходит через центр шара, то проекцией этого шара на плоскость является большой круг, по которому плоскость пересекает шар (рис. 143, а). Если же плоскость проекции не проходит через центр данного шара, то проекцией шара на эту плоскость будет круг, равный большому кругу (рис. 143, б).

Поэтому шар и сферу изображают в виде круга. При этом, чтобы отличить изображение шара от изображения круга, обычно в изображении шара рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности. Проекция эта будет, как мы знаем, эллипсом (см. рис. 110, а). Если взятая большая окружность принята за экватор, то полюсы изображаются, как на рисунке 144, а. На рисунке же 144, б изображение неверное! При таком положении полюсов экватор изображался бы отрезком. Объясните почему.

Сфера описана около многогранника, если она проходит через все его вершины. В этом случае говорят, что многогранник вписан в сферу. Сфера вписана в многогранник, если она касается всех его граней. В этом случае говорят, что многогранник описан около сферы.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: